Номер 19.30, страница 119 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Оптика. 19. Оптические системы и приборы - номер 19.30, страница 119.

Условие.

19.30*. Расстояние между двумя точечными источниками света $l = 32 \text{ см}$. Где между ними надо поместить собирающую линзу с фокусным расстоянием $F = 12 \text{ см}$, чтобы изображения обоих источников оказались в одной точке?

Решение.

Решение 2.

Дано:

$l = 32$ см

$F = 12$ см

$l = 0.32$ м
$F = 0.12$ м

Найти:

Положение линзы между источниками.

Решение:

Пусть два точечных источника света $S_1$ и $S_2$ расположены на расстоянии $\text{l}$ друг от друга. Между ними помещается собирающая линза на расстоянии $d_1$ от источника $S_1$ и на расстоянии $d_2$ от источника $S_2$. Таким образом, $d_1 + d_2 = l$.

Чтобы изображения обоих источников, $I_1$ и $I_2$, оказались в одной и той же точке пространства, они должны быть расположены по одну сторону от линзы. Изображение, даваемое собирающей линзой, может быть действительным (находится по другую сторону от линзы относительно предмета) или мнимым (находится по ту же сторону от линзы, что и предмет).

Следовательно, для того чтобы оба изображения оказались в одной точке (например, справа от линзы), один источник (например, $S_1$) должен находиться слева от линзы и давать действительное изображение, а другой источник ($S_2$) — справа от линзы и давать мнимое изображение.

Условие получения действительного изображения: расстояние до предмета больше фокусного расстояния, $d_1 > F$.
Условие получения мнимого изображения: расстояние до предмета меньше фокусного расстояния, $d_2 < F$.

Расстояния от линзы до изображений должны быть одинаковыми. Обозначим это расстояние как $f_{img}$. Для действительного изображения расстояние до изображения в формуле тонкой линзы положительно ($f_1 = f_{img}$), а для мнимого — отрицательно ($f_2 = -f_{img}$).

Запишем формулу тонкой линзы для обоих источников:

Для источника $S_1$: $\frac{1}{d_1} + \frac{1}{f_1} = \frac{1}{F} \implies \frac{1}{d_1} + \frac{1}{f_{img}} = \frac{1}{F}$

Для источника $S_2$: $\frac{1}{d_2} + \frac{1}{f_2} = \frac{1}{F} \implies \frac{1}{d_2} - \frac{1}{f_{img}} = \frac{1}{F}$

Получили систему из двух уравнений. Выразим $\frac{1}{f_{img}}$ из каждого уравнения:

$\frac{1}{f_{img}} = \frac{1}{F} - \frac{1}{d_1}$

$\frac{1}{f_{img}} = \frac{1}{d_2} - \frac{1}{F}$

Приравняем правые части:

$\frac{1}{F} - \frac{1}{d_1} = \frac{1}{d_2} - \frac{1}{F}$

$\frac{2}{F} = \frac{1}{d_1} + \frac{1}{d_2}$

Подставим в это уравнение связь $d_2 = l - d_1$ и обозначим $d_1 = x$:

$\frac{2}{F} = \frac{1}{x} + \frac{1}{l-x}$

Приведем правую часть к общему знаменателю:

$\frac{2}{F} = \frac{l-x+x}{x(l-x)} = \frac{l}{x(l-x)}$

$2x(l-x) = lF$

$2lx - 2x^2 = lF$

$2x^2 - 2lx + lF = 0$

Подставим числовые значения $l = 32$ см и $F = 12$ см:

$2x^2 - 2 \cdot 32 \cdot x + 32 \cdot 12 = 0$

$2x^2 - 64x + 384 = 0$

Разделим уравнение на 2:

$x^2 - 32x + 192 = 0$

Решим квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-32)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 192 = 1024 - 768 = 256$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{32 + \sqrt{256}}{2} = \frac{32 + 16}{2} = \frac{48}{2} = 24$ см.

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{32 - \sqrt{256}}{2} = \frac{32 - 16}{2} = \frac{16}{2} = 8$ см.

Найденные значения $x_1$ и $x_2$ — это расстояния $d_1$ и $d_2$.

Если $d_1 = 24$ см, то $d_2 = l - d_1 = 32 - 24 = 8$ см.
Проверим условия: $d_1 = 24 > F=12$ (действительное изображение) и $d_2 = 8 < F=12$ (мнимое изображение). Условия выполняются.

Если $d_1 = 8$ см, то $d_2 = l - d_1 = 32 - 8 = 24$ см.
В этом случае роли источников меняются: источник на расстоянии 8 см дает мнимое изображение, а на расстоянии 24 см — действительное.

Оба решения приводят к одному и тому же расположению линзы: на расстоянии 8 см от одного источника и 24 см от другого.

Ответ:

Линзу следует поместить на расстоянии 8 см от одного источника и 24 см от другого.