Номер 19.24, страница 119 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Оптика. 19. Оптические системы и приборы - номер 19.24, страница 119.

Условие.

19.24*. Каким должно быть фокусное расстояние $\text{F}$ объектива (см. задачу 19.23), чтобы размытость изображения не превышала $a = 0,10 \text{ мм}$ при $d \to \infty$?

Решение.

Решение 2.

Дано:

Максимальная размытость изображения $a = 0,10 \text{ мм} = 10^{-4} \text{ м}$

Расстояние до рассматриваемого объекта $d \rightarrow \infty$

Из условия сопутствующей задачи 19.23 принимаем, что объектив сфокусирован на расстояние $d_0 = 5 \text{ м}$ и имеет относительное отверстие $k = D/F = 1/2$.

Найти:

Фокусное расстояние объектива $\text{F}$.

Решение:

Размытость изображения объекта, находящегося на бесконечности, возникает в данном случае потому, что объектив фотоаппарата сфокусирован на конечное расстояние $d_0$. Это означает, что плоскость светочувствительного элемента (пленки или матрицы) находится на расстоянии $f_0$ от объектива. Это расстояние определяется из формулы тонкой линзы для объекта на расстоянии $d_0$:

$\frac{1}{d_0} + \frac{1}{f_0} = \frac{1}{F}$

Отсюда можно выразить расстояние $f_0$:

$f_0 = \frac{d_0 F}{d_0 - F}$

Лучи от очень удаленного объекта ($d \rightarrow \infty$) после прохождения через объектив собираются в его фокальной плоскости, то есть на расстоянии $\text{F}$ от центра линзы. Поскольку светочувствительный элемент находится на расстоянии $f_0$, а не $\text{F}$, изображение точки превращается в пятно размытия диаметром $\text{a}$.

Диаметр этого пятна можно найти из подобия треугольников, которые образует сходящийся пучок света. Вершина одного треугольника находится в фокусе, а его основание — это диафрагма объектива диаметром $\text{D}$. Второй, подобный ему, треугольник имеет вершину в той же точке, а его основание — это пятно размытия $\text{a}$. Соотношение их сторон:

$\frac{a}{|f_0 - F|} = \frac{D}{F}$

где $\text{D}$ — диаметр входного зрачка (диафрагмы) объектива.

Найдем величину $|f_0 - F|$:

$|f_0 - F| = |\frac{d_0 F}{d_0 - F} - F| = |\frac{d_0 F - F(d_0 - F)}{d_0 - F}| = |\frac{d_0 F - d_0 F + F^2}{d_0 - F}| = \frac{F^2}{d_0 - F}$

Мы убрали модуль, так как для формирования действительного изображения $d_0 > F$, и знаменатель положителен.

Теперь подставим это выражение в формулу для размытости:

$a = \frac{D}{F} \cdot \frac{F^2}{d_0 - F} = \frac{D F}{d_0 - F}$

Воспользуемся данными из задачи 19.23, а именно относительным отверстием $k = D/F = 1/2$. Отсюда $D = kF$. Подставим это в нашу формулу:

$a = \frac{kF \cdot F}{d_0 - F} = \frac{k F^2}{d_0 - F}$

Получили уравнение относительно искомой величины $\text{F}$. Преобразуем его в стандартный вид квадратного уравнения:

$a(d_0 - F) = k F^2$

$a d_0 - a F = k F^2$

$k F^2 + a F - a d_0 = 0$

Подставим числовые значения из условия, предварительно переведя их в систему СИ:

$k = 0,5$

$a = 10^{-4} \text{ м}$

$d_0 = 5 \text{ м}$

$0,5 F^2 + 10^{-4} F - 10^{-4} \cdot 5 = 0$

$0,5 F^2 + 10^{-4} F - 5 \cdot 10^{-4} = 0$

Решим это квадратное уравнение, используя формулу для корней $F = \frac{-B \pm \sqrt{B^2 - 4AC}}{2A}$:

$F = \frac{-10^{-4} \pm \sqrt{(10^{-4})^2 - 4 \cdot 0,5 \cdot (-5 \cdot 10^{-4})}}{2 \cdot 0,5}$

$F = -10^{-4} \pm \sqrt{10^{-8} + 10 \cdot 10^{-4}} = -10^{-4} \pm \sqrt{10^{-8} + 10^{-3}}$

Поскольку $10^{-8}$ пренебрежимо мало по сравнению с $10^{-3}$, им можно пренебречь для упрощения:

$F \approx -10^{-4} \pm \sqrt{10^{-3}} \approx -10^{-4} \pm 0,03162$

Фокусное расстояние является физической величиной и должно быть положительным, поэтому выбираем корень со знаком «плюс»:

$F \approx 0,03152 \text{ м}$

Переведем результат в миллиметры:

$F \approx 31,5 \text{ мм}$

Ответ: фокусное расстояние объектива должно быть $F \approx 31,5 \text{ мм}$.