Номер 19.27, страница 119 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Оптика. 19. Оптические системы и приборы - номер 19.27, страница 119.

Условие.

19.27. С помощью собирающей линзы на экране получают четкое изображение предмета. Высота предмета $\text{h}$, высота изображения $h_1 > h$. Линзу передвигают ближе к экрану, и после этого на экране опять возникает четкое изображение. Какова теперь его высота $h_2$?

Решение.

Решение 2.

Дано:

Высота предмета: $\text{h}$
Высота первого изображения: $h_1$
Условие: $h_1 > h$

Найти:

$h_2$ - высота второго изображения.

Решение:

Запишем формулу тонкой собирающей линзы и формулу для ее линейного увеличения.

Формула тонкой линзы: $ \frac{1}{d} + \frac{1}{f'} = \frac{1}{F} $, где $\text{d}$ — расстояние от предмета до линзы, $f'$ — расстояние от линзы до изображения, а $\text{F}$ — фокусное расстояние линзы.

Формула линейного увеличения: $ \Gamma = \frac{H}{h} = \frac{f'}{d} $, где $\text{H}$ — высота изображения, а $\text{h}$ — высота предмета.

В первом положении линзы, когда высота изображения равна $h_1$, обозначим расстояние от предмета до линзы как $d_1$, а расстояние от линзы до экрана (где формируется изображение) как $f'_1$.
Тогда:
$ \frac{1}{d_1} + \frac{1}{f'_1} = \frac{1}{F} $
Линейное увеличение в этом случае: $ \Gamma_1 = \frac{h_1}{h} = \frac{f'_1}{d_1} $.

Из условия $h_1 > h$ следует, что увеличение $ \Gamma_1 > 1 $, а значит $f'_1 > d_1$.

Расстояние $\text{L}$ между предметом и экраном остается неизменным в ходе эксперимента: $L = d_1 + f'_1$.

Когда линзу передвигают, на экране снова получают четкое изображение. Это означает, что существует второе положение линзы, для которого выполняются условия задачи. Пусть в этом втором положении расстояние от предмета до линзы равно $d_2$, а от линзы до экрана — $f'_2$.
Для этого положения также справедливы формулы:
$ \frac{1}{d_2} + \frac{1}{f'_2} = \frac{1}{F} $
$L = d_2 + f'_2$
Линейное увеличение: $ \Gamma_2 = \frac{h_2}{h} = \frac{f'_2}{d_2} $.

Существование двух таких положений линзы при фиксированном расстоянии между предметом и экраном является следствием обратимости световых лучей. Если пара расстояний $(d, f')$ удовлетворяет формуле линзы при сумме $d + f' = L$, то и пара $(f', d)$ также будет удовлетворять этим условиям.

Следовательно, расстояния для второго положения линзы связаны с расстояниями для первого положения следующим образом:
$d_2 = f'_1$ и $f'_2 = d_1$.

Теперь мы можем найти линейное увеличение для второго случая:
$ \Gamma_2 = \frac{f'_2}{d_2} = \frac{d_1}{f'_1} $

Сравнивая увеличения для первого и второго случаев, получаем:
$ \Gamma_2 = \frac{1}{\Gamma_1} $

Подставим в это соотношение выражения для увеличений через высоты:
$ \frac{h_2}{h} = \frac{1}{h_1/h} = \frac{h}{h_1} $

Из этого уравнения выражаем искомую высоту второго изображения $h_2$:
$ h_2 = \frac{h^2}{h_1} $

Поскольку по условию $h_1 > h$, то из полученной формулы следует, что $h_2 < h$. Это означает, что если первое изображение было увеличенным, то второе будет уменьшенным.

Ответ: Высота второго изображения $h_2$ равна $h_2 = \frac{h^2}{h_1}$.