Номер 19.29, страница 119 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Оптика. 19. Оптические системы и приборы - номер 19.29, страница 119.

Условие.

19.29* С помощью собирающей линзы на экране получают четкое изображение свечи при двух положениях линзы, расстояние между которыми $a = 50$ см. Найдите оптическую силу $\text{D}$ линзы, если свеча находится на расстоянии $l = 2,5$ м от экрана.

Решение.

Решение 2.

Дано:

Расстояние между положениями линзы $a = 50 \text{ см}$
Расстояние от свечи до экрана $l = 2,5 \text{ м}$

Перевод в систему СИ:
$a = 0,5 \text{ м}$

Найти:

Оптическую силу линзы $\text{D}$.

Решение:
Пусть $\text{d}$ — расстояние от предмета (свечи) до линзы, а $\text{f}$ — расстояние от линзы до изображения (экрана). Формула тонкой линзы для оптической силы $\text{D}$ (которая равна $1/F$, где $\text{F}$ - фокусное расстояние) имеет вид:

$D = \frac{1}{d} + \frac{1}{f}$

Расстояние от свечи до экрана $\text{l}$ является постоянным и равно сумме расстояний от предмета до линзы и от линзы до изображения:

$l = d + f$

В задаче указано, что существует два положения линзы, при которых на экране получается четкое изображение. Обозначим расстояния для первого положения как $d_1$ и $f_1$, а для второго — как $d_2$ и $f_2$.

Из-за свойства обратимости световых лучей, если пара расстояний $(d_1, f_1)$ является решением для получения четкого изображения, то и пара $(f_1, d_1)$ также будет решением. Это означает, что для второго положения линзы расстояния от предмета до линзы и от линзы до изображения меняются местами:

$d_2 = f_1$ и $f_2 = d_1$

Расстояние $\text{a}$ между двумя положениями линзы — это разница между расстояниями от свечи до линзы в этих двух положениях:

$a = |d_2 - d_1| = |f_1 - d_1|$

Таким образом, мы имеем систему из двух уравнений для нахождения $d_1$ и $f_1$:
1. $d_1 + f_1 = l$
2. $|f_1 - d_1| = a$

Решим эту систему. Для определенности предположим, что $f_1 > d_1$. Тогда второе уравнение примет вид $f_1 - d_1 = a$.Сложим первое и второе уравнения:

$(d_1 + f_1) + (f_1 - d_1) = l + a$
$2f_1 = l + a$
$f_1 = \frac{l + a}{2}$

Вычтем второе уравнение из первого:

$(d_1 + f_1) - (f_1 - d_1) = l - a$
$2d_1 = l - a$
$d_1 = \frac{l - a}{2}$

Теперь подставим найденные выражения для $d_1$ и $f_1$ в формулу тонкой линзы, чтобы найти оптическую силу $\text{D}$:

$D = \frac{1}{d_1} + \frac{1}{f_1} = \frac{1}{\frac{l-a}{2}} + \frac{1}{\frac{l+a}{2}} = \frac{2}{l-a} + \frac{2}{l+a}$

Приведем к общему знаменателю:

$D = \frac{2(l+a) + 2(l-a)}{(l-a)(l+a)} = \frac{2l + 2a + 2l - 2a}{l^2 - a^2} = \frac{4l}{l^2 - a^2}$

Это расчетная формула. Подставим в нее числовые значения из условия задачи:

$D = \frac{4 \cdot 2,5 \text{ м}}{(2,5 \text{ м})^2 - (0,5 \text{ м})^2} = \frac{10 \text{ м}}{6,25 \text{ м}^2 - 0,25 \text{ м}^2} = \frac{10 \text{ м}}{6 \text{ м}^2} = \frac{5}{3} \text{ дптр}$

Вычислим приближенное значение:

$D \approx 1,67 \text{ дптр}$

Ответ: Оптическая сила линзы равна $\frac{5}{3}$ дптр, что приблизительно составляет $1,67$ дптр.