Номер 19.32, страница 119 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Оптика. 19. Оптические системы и приборы - номер 19.32, страница 119.

Условие.

19.32*. Середина стержня, имеющего длину $l = 10 \text{ мм}$, находится на расстоянии $d = 18 \text{ см}$ от собирающей линзы на ее главной оптической оси. Найдите длину $\text{L}$ изображения стержня в двух случаях:

а) стержень расположен параллельно плоскости линзы;

б) стержень расположен вдоль главной оптической оси линзы.

Фокусное расстояние линзы $F = 12 \text{ см}$.

Решение.

Решение 2.

Дано:

Длина стержня, $l = 10 \text{ мм}$

Расстояние от центра стержня до линзы, $d = 18 \text{ см}$

Фокусное расстояние собирающей линзы, $F = 12 \text{ см}$

Для удобства вычислений переведем все величины в сантиметры:

$l = 1 \text{ см}$

$d = 18 \text{ см}$

$F = 12 \text{ см}$

Найти:

$\text{L}$ - длину изображения стержня в двух случаях.

Решение:

Для нахождения положения изображения, формируемого тонкой линзой, будем использовать формулу тонкой линзы:

$\frac{1}{F} = \frac{1}{d_{obj}} + \frac{1}{f_{img}}$

где $d_{obj}$ – расстояние от объекта до линзы, а $f_{img}$ – расстояние от линзы до изображения. Отсюда расстояние до изображения можно выразить как:

$f_{img} = \frac{d_{obj} \cdot F}{d_{obj} - F}$

а) стержень расположен параллельно плоскости линзы

В этом случае все точки стержня находятся на одинаковом расстоянии $\text{d}$ от линзы. Длину изображения $L_a$ можно найти через поперечное увеличение линзы $\Gamma$.

Поперечное увеличение определяется как отношение размера изображения к размеру объекта, а также как отношение расстояния до изображения к расстоянию до объекта:

$\Gamma = \frac{L_a}{l} = \frac{f_{img}}{d}$

Сначала найдем расстояние до изображения $f_{img}$, используя $d_{obj} = d = 18 \text{ см}$:

$f_{img} = \frac{d \cdot F}{d - F} = \frac{18 \text{ см} \cdot 12 \text{ см}}{18 \text{ см} - 12 \text{ см}} = \frac{216}{6} = 36 \text{ см}$.

Теперь найдем длину изображения $L_a$:

$L_a = l \cdot \frac{f_{img}}{d} = 1 \text{ см} \cdot \frac{36 \text{ см}}{18 \text{ см}} = 2 \text{ см}$.

Ответ: Длина изображения стержня равна $2 \text{ см}$.

б) стержень расположен вдоль главной оптической оси линзы

Когда стержень расположен вдоль главной оптической оси, его концы находятся на разном расстоянии от линзы. Центр стержня находится на расстоянии $d=18 \text{ см}$, а его длина $l=1 \text{ см}$.

Расстояние от линзы до ближнего конца стержня: $d_1 = d - \frac{l}{2} = 18 \text{ см} - \frac{1 \text{ см}}{2} = 17.5 \text{ см}$.

Расстояние от линзы до дальнего конца стержня: $d_2 = d + \frac{l}{2} = 18 \text{ см} + \frac{1 \text{ см}}{2} = 18.5 \text{ см}$.

Теперь найдем положение изображений для каждого из концов стержня ($f_1$ и $f_2$).

Изображение ближнего конца:

$f_1 = \frac{d_1 \cdot F}{d_1 - F} = \frac{17.5 \cdot 12}{17.5 - 12} = \frac{210}{5.5} = \frac{420}{11} \text{ см}$.

Изображение дальнего конца:

$f_2 = \frac{d_2 \cdot F}{d_2 - F} = \frac{18.5 \cdot 12}{18.5 - 12} = \frac{222}{6.5} = \frac{444}{13} \text{ см}$.

Длина изображения стержня $L_b$ будет равна модулю разности расстояний до изображений его концов:

$L_b = |f_1 - f_2| = \left|\frac{420}{11} - \frac{444}{13}\right| = \left|\frac{420 \cdot 13 - 444 \cdot 11}{11 \cdot 13}\right| = \left|\frac{5460 - 4884}{143}\right| = \frac{576}{143} \text{ см}$.

Вычислим приближенное значение:

$L_b \approx 4.028 \text{ см}$.

Ответ: Длина изображения стержня равна $\frac{576}{143} \text{ см} \approx 4.03 \text{ см}$.