Номер 19.37, страница 120 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Оптика. 19. Оптические системы и приборы - номер 19.37, страница 120.

Условие.

19.37*. Постройте ход лучей и найдите положение изображения предмета $\text{AB}$ в оптической системе, состоящей из собирающей линзы и плоского зеркала (см. рисунок).

Решение.

Решение 2.

Решение

Для построения изображения предмета AB в данной оптической системе, состоящей из собирающей линзы и плоского зеркала, необходимо рассмотреть последовательное прохождение лучей света через систему. Процесс можно разбить на три этапа:

1. Формирование промежуточного изображения A'B' предмета AB собирающей линзой.
2. Отражение лучей от плоского зеркала и формирование второго промежуточного изображения A''B''.
3. Формирование окончательного изображения A'''B''' при повторном прохождении отраженных лучей через линзу.

1. Формирование первого изображения (линзой)

Предмет AB находится между фокусом ($\text{F}$) и двойным фокусом ($\text{2F}$) собирающей линзы. Чтобы построить его изображение A'B', воспользуемся двумя стандартными лучами, выходящими из точки B:

• Луч, параллельный главной оптической оси, после преломления в линзе пройдет через ее задний (правый) фокус F.
• Луч, проходящий через оптический центр линзы O, не меняет своего направления.

Пересечение этих лучей даст действительное, перевернутое и увеличенное изображение B'. Его основание A' будет лежать на главной оптической оси. Изображение A'B' будет расположено за двойным фокусным расстоянием справа от линзы.

Положение этого изображения ($f_1$) можно найти по формуле тонкой линзы: $ \frac{1}{d} + \frac{1}{f_1} = \frac{1}{F} $, где $\text{d}$ — расстояние от предмета до линзы. Отсюда $f_1 = \frac{dF}{d-F}$.

2. Отражение от зеркала

Изображение A'B' становится предметом для плоского зеркала. Согласно рисунку, зеркало находится на расстоянии $\text{F}$ от заднего фокуса, то есть на расстоянии $\text{2F}$ от оптического центра линзы.

Расстояние от A'B' до зеркала составляет $f_1 - 2F$. Плоское зеркало формирует мнимое изображение A''B'', расположенное за зеркалом на таком же расстоянии. Это изображение имеет тот же размер и ориентацию, что и A'B' (т.е. перевернутое относительно исходного предмета AB).

3. Формирование конечного изображения (снова линзой)

Отраженные от зеркала лучи идут обратно к линзе так, как будто они исходят из мнимого изображения A''B''. Таким образом, A''B'' служит мнимым предметом для линзы при обратном ходе лучей.

Найдем расстояние от этого мнимого предмета A''B'' до линзы. Оно равно сумме расстояния от линзы до зеркала и расстояния от зеркала до A''B'':

$d_2 = 2F + (f_1 - 2F) = f_1$.

Теперь применим формулу тонкой линзы для второго прохождения света (справа налево), чтобы найти положение конечного изображения $f_2$:

$ \frac{1}{d_2} + \frac{1}{f_2} = \frac{1}{F} $

Подставив $d_2 = f_1$, получим: $ \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2} = \frac{1}{F} $.

Из формулы для первого этапа мы знаем, что $ \frac{1}{d} + \frac{1}{f_1} = \frac{1}{F} $, или $ \frac{1}{f_1} = \frac{1}{F} - \frac{1}{d} $. Подставим это выражение:

$ \left(\frac{1}{F} - \frac{1}{d}\right) + \frac{1}{f_2} = \frac{1}{F} $

Сократив $1/F$ в обеих частях, получим: $ -\frac{1}{d} + \frac{1}{f_2} = 0 $, откуда следует, что $f_2 = d$.

Это означает, что конечное изображение формируется на том же расстоянии от линзы, что и исходный предмет.

Теперь определим увеличение системы. Общее увеличение $\text{G}$ равно произведению увеличений от каждого элемента:

$ G = G_{линза1} \cdot G_{зеркало} \cdot G_{линза2} $

$ G = \left(-\frac{f_1}{d}\right) \cdot (1) \cdot \left(-\frac{f_2}{d_2}\right) = \frac{f_1 f_2}{d d_2} $

Так как мы установили, что $f_2 = d$ и $d_2 = f_1$, то:

$ G = \frac{f_1 d}{d f_1} = 1 $

Увеличение, равное +1, означает, что конечное изображение является прямым (не перевернутым), равным по размеру исходному предмету и действительным. Поскольку оно формируется на том же расстоянии от линзы, что и предмет ($f_2=d$), конечное изображение полностью совпадает с предметом AB.

Графическое построение хода лучей представлено на рисунке:

Ответ: Конечное изображение, формируемое данной оптической системой, является действительным, прямым, равным по размеру предмету и совпадает с ним по положению.