Номер 19.42, страница 121 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Оптика. 19. Оптические системы и приборы - номер 19.42, страница 121.

Условие.

19.42**. Объектив состоит из двух тонких линз, расстояние между которыми $l = 15 \text{ см}$. Фокусные расстояния линз $F_1 = 20 \text{ см}$, $F_2 = -10 \text{ см}$. С помощью этого объектива, обращенного собирающей линзой к Солнцу, получают на экране изображение Солнца. С помощью какой одной линзы можно получить изображение Солнца такого же размера?

Решение.

Решение 2.

Дано:

$l = 15 \text{ см}$

$F_1 = 20 \text{ см}$

$F_2 = -10 \text{ см}$

$l = 0.15 \text{ м}$

$F_1 = 0.2 \text{ м}$

$F_2 = -0.1 \text{ м}$

Найти:

$F_{экв}$ - фокусное расстояние эквивалентной одиночной линзы.

Решение:

Изображение очень удаленного объекта, такого как Солнце, формируется в фокальной плоскости оптической системы. Размер изображения $\text{h}$ связан с угловым размером объекта $\alpha$ и фокусным расстоянием системы $\text{F}$ соотношением $h \approx F \cdot \alpha$ (при малых углах, $\tan\alpha \approx \alpha$).

Чтобы найти, какая одиночная линза даст изображение Солнца такого же размера, нужно найти эквивалентное фокусное расстояние данной системы из двух линз. Если одиночная линза будет иметь такое же фокусное расстояние, то и размер изображения Солнца будет таким же.

Оптическая сила системы из двух тонких линз, расположенных на расстоянии $\text{l}$ друг от друга, вычисляется по формуле:

$D_{экв} = D_1 + D_2 - l \cdot D_1 \cdot D_2$

где $D_1 = 1/F_1$ и $D_2 = 1/F_2$ - оптические силы первой и второй линз соответственно. Фокусное расстояние системы $F_{экв} = 1/D_{экв}$. Формулу можно записать через фокусные расстояния:

$\frac{1}{F_{экв}} = \frac{1}{F_1} + \frac{1}{F_2} - \frac{l}{F_1 \cdot F_2}$

Подставим в формулу данные из условия задачи. Удобнее производить вычисления в сантиметрах, так как все величины даны в них.

$F_1 = 20 \text{ см}$

$F_2 = -10 \text{ см}$

$l = 15 \text{ см}$

$\frac{1}{F_{экв}} = \frac{1}{20} + \frac{1}{-10} - \frac{15}{20 \cdot (-10)} = \frac{1}{20} - \frac{1}{10} - \frac{15}{-200} = \frac{1}{20} - \frac{2}{20} + \frac{15}{200}$

Приведем дроби к общему знаменателю 200:

$\frac{1}{F_{экв}} = \frac{10}{200} - \frac{20}{200} + \frac{15}{200} = \frac{10 - 20 + 15}{200} = \frac{5}{200} = \frac{1}{40}$

Отсюда находим эквивалентное фокусное расстояние:

$F_{экв} = 40 \text{ см}$

Так как $F_{экв} > 0$, то эквивалентная линза является собирающей.

Таким образом, чтобы получить изображение Солнца такого же размера, как и с помощью данного объектива, нужно использовать одну собирающую линзу с фокусным расстоянием 40 см.

Ответ: Изображение Солнца такого же размера можно получить с помощью одной собирающей линзы с фокусным расстоянием $F = 40 \text{ см}$.