Номер 19.43, страница 121 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Оптика. 19. Оптические системы и приборы - номер 19.43, страница 121.

Условие.

19.43* Система состоит из двух линз (собирающей и рассеивающей) с одинаковыми по модулю фокусными расстояниями. Главные оптические оси линз совпадают. С помощью этой системы на экране получено изображение Солнца. Когда линзы поменяли местами, экран пришлось передвинуть на $s = 30 \, \text{см}$, чтобы на нем снова появилось изображение Солнца. Каково фокусное расстояние $\text{F}$ собирающей линзы?

Решение.

Решение 2.

Дано:

$s = 30 \text{ см}$

Перевод в систему СИ:

$s = 0.3 \text{ м}$

Найти:

$\text{F}$

Решение:

Пусть фокусное расстояние собирающей линзы равно $\text{F}$, тогда фокусное расстояние рассеивающей линзы равно $-F$. Расстояние между линзами обозначим как $\text{L}$. Поскольку объектом является Солнце, лучи от него падают на систему параллельно главной оптической оси, то есть расстояние до объекта можно считать бесконечным ($d = \infty$).

Рассмотрим первый случай, когда первой на пути лучей стоит собирающая линза, а за ней на расстоянии $\text{L}$ – рассеивающая.

Собирающая линза (линза 1) создает изображение Солнца в своем заднем фокусе. Расстояние от первой линзы до этого изображения $f_1 = F$. Это изображение является предметом для второй (рассеивающей) линзы. Расстояние от этого предмета до второй линзы составляет $d_2 = L - f_1 = L - F$.

Используем формулу тонкой линзы для второй линзы: $\frac{1}{d_2} + \frac{1}{f_{2,1}} = \frac{1}{-F}$.

Подставим $d_2$ и найдем расстояние $f_{2,1}$ от второй линзы до конечного изображения:

$\frac{1}{L - F} + \frac{1}{f_{2,1}} = -\frac{1}{F}$

$\frac{1}{f_{2,1}} = -\frac{1}{F} - \frac{1}{L - F} = \frac{-(L-F) - F}{F(L-F)} = \frac{-L}{F(L-F)}$

Отсюда, $f_{2,1} = \frac{F(F-L)}{L}$. Положение экрана $P_1$ относительно первой линзы: $P_1 = L + f_{2,1} = L + \frac{F(F-L)}{L}$.

Теперь рассмотрим второй случай, когда линзы поменяли местами: первой стоит рассеивающая линза, а за ней на расстоянии $\text{L}$ – собирающая.

Рассеивающая линза (линза 1) создает мнимое изображение Солнца в своем переднем фокусе. Расстояние от первой линзы до этого изображения $f_1 = -F$. Это мнимое изображение является предметом для второй (собирающей) линзы. Расстояние от предмета до второй линзы составляет $d_2 = L - f_1 = L - (-F) = L + F$.

Используем формулу тонкой линзы для второй линзы: $\frac{1}{d_2} + \frac{1}{f_{2,2}} = \frac{1}{F}$.

Подставим $d_2$ и найдем расстояние $f_{2,2}$ от второй линзы до конечного изображения:

$\frac{1}{L + F} + \frac{1}{f_{2,2}} = \frac{1}{F}$

$\frac{1}{f_{2,2}} = \frac{1}{F} - \frac{1}{L + F} = \frac{(L+F) - F}{F(L+F)} = \frac{L}{F(L+F)}$

Отсюда, $f_{2,2} = \frac{F(L+F)}{L}$. Положение экрана $P_2$ относительно первой линзы: $P_2 = L + f_{2,2} = L + \frac{F(L+F)}{L}$.

По условию задачи, смещение экрана составляет $\text{s}$. Это разница между положениями экрана в двух случаях:

$s = |P_2 - P_1| = |\left(L + \frac{F(L+F)}{L}\right) - \left(L + \frac{F(F-L)}{L}\right)|$

$s = |\frac{FL + F^2}{L} - \frac{F^2 - FL}{L}| = |\frac{FL + F^2 - F^2 + FL}{L}| = |\frac{2FL}{L}| = 2F$

Таким образом, смещение экрана не зависит от расстояния между линзами и равно удвоенному фокусному расстоянию.

Из полученного соотношения $s = 2F$ выразим фокусное расстояние $\text{F}$:

$F = \frac{s}{2}$

Подставим данное значение $\text{s}$:

$F = \frac{30 \text{ см}}{2} = 15 \text{ см}$

Ответ: фокусное расстояние собирающей линзы равно $15 \text{ см}$.