Номер 19.25, страница 119 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Оптика. 19. Оптические системы и приборы - номер 19.25, страница 119.

Условие.

19.25* Краба, ползущего по дну на глубине $H_1 = 2,0 \text{ м}$, фотографируют с высоты $H_2 = 1,0 \text{ м}$ над поверхностью воды. Какое расстояние $\text{d}$ надо установить на шкале дальности объектива? Каков будет размер $\text{L}$ изображения, если длина краба $l = 10 \text{ см}$? Фокусное расстояние объектива $F = 50 \text{ мм}$.

Решение.

Решение 2.

Дано:

Глубина, на которой находится краб, $H_1 = 2,0$ м.

Высота фотоаппарата над поверхностью воды, $H_2 = 1,0$ м.

Длина краба, $l = 10$ см.

Фокусное расстояние объектива, $F = 50$ мм.

Показатель преломления воды, $n \approx 4/3$.

Перевод в систему СИ:
$l = 10 \text{ см} = 0,10 \text{ м}$
$F = 50 \text{ мм} = 0,050 \text{ м}$

Найти:

Расстояние на шкале дальности, $\text{d}$ - ?

Размер изображения, $\text{L}$ - ?

Решение:

Какое расстояние d надо установить на шкале дальности объектива?

Из-за преломления света на границе вода-воздух, краб, наблюдаемый из воздуха, будет казаться на меньшей глубине, чем в действительности. Эта кажущаяся глубина $H'_1$ для лучей, близких к вертикали, определяется формулой:$H'_1 = \frac{H_1}{n}$где $H_1$ – истинная глубина, а $\text{n}$ – показатель преломления воды (примем $n \approx 4/3$).

Вычислим кажущуюся глубину:$H'_1 = \frac{2,0 \text{ м}}{4/3} = \frac{2,0 \cdot 3}{4} = 1,5 \text{ м}$.

Расстояние $\text{d}$, которое нужно установить на шкале дальности объектива, равно расстоянию от объектива до мнимого изображения краба. Это расстояние является суммой высоты камеры над водой $H_2$ и кажущейся глубины $H'_1$:$d = H_2 + H'_1$.

Подставим числовые значения:$d = 1,0 \text{ м} + 1,5 \text{ м} = 2,5 \text{ м}$.

Ответ: На шкале дальности объектива надо установить расстояние $d = 2,5 \text{ м}$.

Каков будет размер L изображения?

Для нахождения размера изображения $\text{L}$ воспользуемся формулой тонкой линзы и формулой поперечного увеличения.
Формула тонкой линзы: $\frac{1}{d} + \frac{1}{f} = \frac{1}{F}$
Формула поперечного увеличения: $\Gamma = \frac{L}{l} = \frac{f}{d}$
Здесь $\text{d}$ – расстояние до объекта (кажущееся расстояние до краба, которое мы нашли), $\text{f}$ – расстояние от линзы до изображения (на плёнке или матрице), $\text{F}$ – фокусное расстояние объектива, $\text{l}$ - размер объекта, $\text{L}$ - размер изображения.

Из формулы тонкой линзы можно выразить расстояние до изображения $\text{f}$:$\frac{1}{f} = \frac{1}{F} - \frac{1}{d} = \frac{d-F}{dF}$
Следовательно, $f = \frac{dF}{d-F}$.

Теперь подставим выражение для $\text{f}$ в формулу увеличения:$\Gamma = \frac{L}{l} = \frac{f}{d} = \frac{1}{d} \cdot \frac{dF}{d-F} = \frac{F}{d-F}$.

Отсюда выразим и найдем размер изображения $\text{L}$:$L = l \cdot \frac{F}{d-F}$.

Подставим числовые значения в системе СИ:$L = 0,10 \text{ м} \cdot \frac{0,050 \text{ м}}{2,5 \text{ м} - 0,050 \text{ м}} = 0,10 \cdot \frac{0,050}{2,45} = \frac{0,005}{2,45} \approx 0,00204 \text{ м}$.

Переведём результат в миллиметры и округлим с учётом точности исходных данных (два значащих знака):$L \approx 0,00204 \text{ м} \cdot 1000 \frac{\text{мм}}{\text{м}} \approx 2,04 \text{ мм} \approx 2,0 \text{ мм}$.

Ответ: Размер изображения будет $L \approx 2,0 \text{ мм}$.