Номер 19.20, страница 118 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Оптика. 19. Оптические системы и приборы - номер 19.20, страница 118.

Условие.

19.20. Надо сфотографировать автомобиль, движущийся мимо со скоростью $v = 54 \text{ км/ч}$. Размытость контура изображения на пленке не должна превышать $a = 50 \text{ мкм}$. Каким должно быть время экспозиции $\Delta t$, если фокусное расстояние объектива $F = 40 \text{ мм}$, а фотографирование производится с расстояния $d = 10 \text{ м}$?

Решение.

Решение 2.

Дано:

Скорость автомобиля, $v = 54$ км/ч

Максимально допустимая размытость изображения, $a = 50$ мкм

Фокусное расстояние объектива, $F = 40$ мм

Расстояние до автомобиля, $d = 10$ м

$v = 54 \frac{км}{ч} = 54 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = 15 \text{ м/с}$
$a = 50 \text{ мкм} = 50 \cdot 10^{-6} \text{ м}$
$F = 40 \text{ мм} = 40 \cdot 10^{-3} \text{ м} = 0.04 \text{ м}$
$d = 10 \text{ м}$

Найти:

Время экспозиции, $\Delta t$

Решение:

За время экспозиции $\Delta t$ автомобиль переместится на расстояние $\Delta s$. Это расстояние можно найти по формуле равномерного прямолинейного движения:

$\Delta s = v \cdot \Delta t$

Это перемещение объекта ($\Delta s$) приводит к смещению его изображения на пленке на величину $\text{a}$, которая является размытостью изображения. Связь между размером (перемещением) объекта и размером (перемещением) его изображения определяется поперечным увеличением линзы $\Gamma$.

$\Gamma = \frac{\text{размер изображения}}{\text{размер объекта}} = \frac{a}{\Delta s}$

С другой стороны, поперечное увеличение также можно выразить через расстояние от объекта до линзы ($\text{d}$) и расстояние от линзы до изображения ($\text{f}$):

$\Gamma = \frac{f}{d}$

Найдем расстояние от линзы до изображения $\text{f}$, используя формулу тонкой линзы:

$\frac{1}{F} = \frac{1}{d} + \frac{1}{f}$

Отсюда выразим $\frac{1}{f}$:

$\frac{1}{f} = \frac{1}{F} - \frac{1}{d} = \frac{d-F}{dF}$

Тогда расстояние до изображения равно:

$f = \frac{dF}{d-F}$

Теперь подставим это выражение для $\text{f}$ в формулу для увеличения:

$\Gamma = \frac{f}{d} = \frac{dF}{d(d-F)} = \frac{F}{d-F}$

Приравняем два полученных выражения для увеличения:

$\frac{a}{\Delta s} = \frac{F}{d-F}$

Подставим в это уравнение $\Delta s = v \cdot \Delta t$:

$\frac{a}{v \cdot \Delta t} = \frac{F}{d-F}$

Из этого соотношения выразим искомое время экспозиции $\Delta t$:

$\Delta t = \frac{a(d-F)}{vF}$

Подставим числовые значения в систему СИ:

$\Delta t = \frac{50 \cdot 10^{-6} \text{ м} \cdot (10 \text{ м} - 0.04 \text{ м})}{15 \text{ м/с} \cdot 0.04 \text{ м}} = \frac{50 \cdot 10^{-6} \cdot 9.96}{0.6} = \frac{498 \cdot 10^{-6}}{0.6} = 830 \cdot 10^{-6} \text{ с}$

$\Delta t = 8.3 \cdot 10^{-4} \text{ с}$

Поскольку размытость контура изображения не должна превышать $\text{a}$, то и время экспозиции не должно быть больше найденного значения.

Ответ: время экспозиции должно быть не более $8.3 \cdot 10^{-4}$ с.