Номер 19.14, страница 117 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Оптика. 19. Оптические системы и приборы - номер 19.14, страница 117.

Условие.

19.14. Рассеивающая линза с фокусным расстоянием $F = -10$ см дает мнимое изображение предмета, уменьшенное в 2 раза. На каком расстоянии $\text{d}$ от линзы находится предмет? Постройте ход лучей и изображение предмета.

Решение.

Решение 2.

Дано:

Тип линзы: рассеивающая
Фокусное расстояние, $F = -10 \text{ см}$
Изображение уменьшено в 2 раза, то есть линейное увеличение $\Gamma = \frac{1}{2}$

Перевод в СИ:

$F = -0,1 \text{ м}$

Найти:

Расстояние от предмета до линзы, $\text{d}$ - ?
Построить ход лучей и изображение предмета.

Решение:

Нахождение расстояния до предмета

Для решения задачи воспользуемся формулой тонкой линзы и формулой линейного увеличения.

Формула тонкой линзы имеет вид:

$\frac{1}{d} + \frac{1}{f} = \frac{1}{F}$

где $\text{d}$ — расстояние от предмета до линзы, $\text{f}$ — расстояние от изображения до линзы, а $\text{F}$ — фокусное расстояние линзы.

Формула линейного увеличения $\Gamma$:

$\Gamma = -\frac{f}{d}$

По условию, изображение мнимое и уменьшено в 2 раза. Рассеивающая линза всегда дает прямое (неперевернутое), мнимое и уменьшенное изображение, поэтому его увеличение является положительной величиной: $\Gamma = \frac{1}{2}$.

Выразим расстояние до изображения $\text{f}$ из формулы увеличения:

$\frac{1}{2} = -\frac{f}{d} \implies f = -\frac{d}{2}$

Знак "минус" для $\text{f}$ подтверждает, что изображение мнимое и находится с той же стороны от линзы, что и предмет, что соответствует правилу знаков.

Теперь подставим полученное выражение для $\text{f}$ в формулу тонкой линзы:

$\frac{1}{d} + \frac{1}{-d/2} = \frac{1}{F}$

Преобразуем левую часть уравнения:

$\frac{1}{d} - \frac{2}{d} = \frac{1}{F}$

$-\frac{1}{d} = \frac{1}{F}$

Отсюда находим искомое расстояние $\text{d}$:

$d = -F$

Подставим известное значение фокусного расстояния $F = -10 \text{ см}$:

$d = -(-10 \text{ см}) = 10 \text{ см}$

Построение хода лучей и изображения предмета

1. Проводим горизонтальную прямую — главную оптическую ось.

2. В центре оси чертим перпендикулярный ей отрезок, обозначающий рассеивающую линзу. На концах отрезка рисуем стрелки, направленные от оси к краям, что является условным обозначением рассеивающей линзы.

3. Отмечаем на главной оптической оси по обе стороны от линзы ее главные фокусы ($\text{F}$ и $F'$). Расстояние от оптического центра линзы $\text{O}$ до каждого фокуса равно модулю фокусного расстояния, то есть $10 \text{ см}$.

4. Располагаем предмет (в виде стрелки $\text{AB}$, основание $\text{A}$ которой лежит на главной оптической оси) на расстоянии $d = 10 \text{ см}$ от линзы. Таким образом, предмет находится в переднем фокусе $\text{F}$ линзы.

5. Для построения изображения верхней точки предмета ($\text{B}$) используем два стандартных луча:

- Первый луч исходит из точки $\text{B}$ параллельно главной оптической оси и идет до линзы. После преломления в линзе он распространяется так, что его продолжение в обратную сторону проходит через передний фокус $\text{F}$ (тот, в котором находится предмет).

- Второй луч исходит из точки $\text{B}$ и проходит через оптический центр линзы $\text{O}$. Этот луч не изменяет своего направления.

6. За линзой эти два луча расходятся. Чтобы найти положение изображения, необходимо продлить преломленный первый луч в обратную сторону (пунктирной линией) до пересечения со вторым лучом. Точка их пересечения $B'$ и будет мнимым изображением точки $\text{B}$.

7. Опустив перпендикуляр из точки $B'$ на главную оптическую ось, получим точку $A'$. Стрелка $A'B'$ является мнимым, прямым и уменьшенным изображением предмета $\text{AB}$. Оно будет находиться на расстоянии $|f| = |-\frac{d}{2}| = \frac{10}{2} = 5 \text{ см}$ от линзы.

Ответ:

Предмет находится на расстоянии $d = 10 \text{ см}$ от линзы. Построение хода лучей и изображения описано выше.