Номер 19.9, страница 116 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Оптика. 19. Оптические системы и приборы - номер 19.9, страница 116.

Условие.

19.9*. Собирающая линза с фокусным расстоянием $F = 40 \text{ мм}$ используется в качестве зажигательного стекла. Каков минимальный диаметр $\text{d}$ полученного с ее помощью светлого пятна? Угловой диаметр солнечного диска при наблюдении с Земли $\beta = 9.3 \cdot 10^{-3} \text{ рад.}$.

Решение.

Решение 2.

Дано:

Фокусное расстояние собирающей линзы $F = 40 \text{ мм}$

Угловой диаметр солнечного диска $\beta = 9,3 \cdot 10^{-3} \text{ рад}$

Перевод в систему СИ:

$F = 40 \text{ мм} = 40 \cdot 10^{-3} \text{ м} = 0,04 \text{ м}$

Найти:

Минимальный диаметр светлого пятна $\text{d}$.

Решение:

Когда собирающая линза используется как зажигательное стекло, она фокусирует солнечные лучи. Солнце находится на очень большом расстоянии от Земли, поэтому лучи, идущие от него, можно считать параллельным пучком. Собирающая линза фокусирует параллельные лучи в своей фокальной плоскости. Таким образом, самое маленькое и яркое пятно (изображение Солнца) будет формироваться на расстоянии, равном фокусному расстоянию $\text{F}$ от линзы.

Размер этого пятна (его диаметр $\text{d}$) можно определить, рассмотрев ход лучей от краев солнечного диска, проходящих через оптический центр линзы. Эти лучи не преломляются, и угол между ними равен угловому диаметру Солнца $\beta$.

Из геометрических соображений, связав фокусное расстояние $\text{F}$, половину диаметра изображения $d/2$ и половину углового диаметра $\beta/2$, можно записать:

$\tan(\frac{\beta}{2}) = \frac{d/2}{F}$

Так как угол $\beta$ мал (что следует из условия), можно использовать аппроксимацию для малых углов, выраженных в радианах: $\tan(x) \approx x$. Тогда $\tan(\frac{\beta}{2}) \approx \frac{\beta}{2}$.

Подставив это в наше уравнение, получаем:

$\frac{\beta}{2} \approx \frac{d/2}{F}$

Отсюда можно выразить диаметр пятна $\text{d}$:

$d \approx F \cdot \beta$

Подставим известные значения в полученную формулу:

$d = 0,04 \text{ м} \cdot 9,3 \cdot 10^{-3} = 0,000372 \text{ м}$

Для удобства переведем результат в миллиметры:

$d = 0,000372 \text{ м} \cdot 1000 = 0,372 \text{ мм}$

Ответ: Минимальный диаметр полученного светлого пятна составляет $0,372 \text{ мм}$.