Номер 19.11, страница 117 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Оптика. 19. Оптические системы и приборы - номер 19.11, страница 117.

Условие.

19.11. Постройте изображение предмета в рассеивающей линзе. Докажите, что формула тонкой линзы применима и в этом случае, если считать, что для рассеивающей линзы $F < 0$, а для мнимого изображения $f < 0$.

Решение.

Решение 2.

Постройте изображение предмета в рассеивающей линзе.

Для построения изображения предмета в рассеивающей линзе необходимо выполнить следующие шаги:

1. Провести главную оптическую ось — прямую, проходящую через центры кривизны поверхностей линзы.

2. Перпендикулярно главной оптической оси построить рассеивающую линзу. Её условно обозначают отрезком со стрелками, направленными к оси.

3. Отметить на главной оптической оси оптический центр линзы (O) и её мнимые фокусы (F) по обе стороны от линзы на одинаковом расстоянии.

4. Разместить предмет, например, в виде стрелки AB, перпендикулярно главной оптической оси (точка A лежит на оси).

5. Для построения изображения верхней точки предмета (B) используются два луча:

а) Первый луч проводится из точки B параллельно главной оптической оси до пересечения с линзой. После преломления в линзе этот луч пойдёт так, что его продолжение (пунктирная линия в обратную сторону) пройдёт через передний мнимый фокус F (тот, что находится с той же стороны, что и предмет).

б) Второй луч проводится из точки B через оптический центр линзы O. Этот луч не преломляется и продолжает своё движение по прямой.

6. Точка пересечения продолжения первого преломлённого луча и второго луча даст изображение точки B, обозначим её B'. Так как изображение получается на пересечении не самих лучей, а продолжения одного из них, оно является мнимым.

7. Для получения полного изображения A'B' нужно опустить перпендикуляр из точки B' на главную оптическую ось. Точка пересечения будет A'.

Полученное изображение A'B' всегда будет мнимым, прямым и уменьшенным, и оно всегда будет располагаться между предметом и линзой, с той же стороны, что и предмет.

Ответ: Изображение предмета в рассеивающей линзе строится с помощью двух лучей: луча, параллельного главной оптической оси, продолжение которого после преломления проходит через передний фокус, и луча, проходящего через оптический центр без преломления. Полученное изображение является мнимым, прямым и уменьшенным.

Докажите, что формула тонкой линзы применима и в этом случае, если считать, что для рассеивающей линзы F < 0, а для мнимого изображения f < 0.

Решение

Рассмотрим геометрическое построение, описанное выше. Обозначим:

• $H = AB$ — высота предмета.
• $h = A'B'$ — высота изображения.
• $d = OA$ — расстояние от предмета до линзы.
• $f' = OA'$ — расстояние от изображения до линзы (положительная величина).
• $F' = OF$ — фокусное расстояние (модуль, положительная величина).

Из подобия треугольников $\triangle OAB$ и $\triangle OA'B'$ (они прямоугольные и имеют общий угол при вершине O) следует:

$\frac{A'B'}{AB} = \frac{OA'}{OA} \implies \frac{h}{H} = \frac{f'}{d}$

Пусть D — точка пересечения луча, идущего от B параллельно главной оптической оси, с плоскостью линзы. Тогда $OD = AB = H$. Рассмотрим подобные треугольники $\triangle ODF$ и $\triangle A'B'F$ (они прямоугольные и имеют общий угол при вершине F). Из их подобия следует:

$\frac{A'B'}{OD} = \frac{A'F}{OF}$

Расстояние $A'F$ можно выразить как $OF - OA' = F' - f'$. Подставим известные величины:

$\frac{h}{H} = \frac{F' - f'}{F'}$

Теперь приравняем правые части полученных выражений для отношения $\frac{h}{H}$:

$\frac{f'}{d} = \frac{F' - f'}{F'}$

Разделим правую часть на два слагаемых:

$\frac{f'}{d} = \frac{F'}{F'} - \frac{f'}{F'} \implies \frac{f'}{d} = 1 - \frac{f'}{F'}$

Разделим обе части уравнения на $f'$ (поскольку изображение существует, $f' \ne 0$):

$\frac{1}{d} = \frac{1}{f'} - \frac{1}{F'}$

Теперь введём правило знаков, предложенное в условии задачи. Для рассеивающей линзы фокусное расстояние $\text{F}$ считается отрицательным, а для мнимого изображения расстояние до него $\text{f}$ также считается отрицательным. В нашей геометрической модели $F'$ и $f'$ — это модули этих величин, то есть положительные расстояния.

Следовательно, мы можем записать:

$F = -F'$ или $F' = -F$

$f = -f'$ или $f' = -f$

Расстояние до действительного предмета $\text{d}$ остаётся положительным. Подставим эти выражения в выведенную нами формулу:

$\frac{1}{d} = \frac{1}{(-f)} - \frac{1}{(-F)}$

$\frac{1}{d} = -\frac{1}{f} + \frac{1}{F}$

Перенося слагаемое с $\text{f}$ в левую часть, получаем стандартную формулу тонкой линзы:

$\frac{1}{d} + \frac{1}{f} = \frac{1}{F}$

Таким образом, формула тонкой линзы применима и для рассеивающей линзы, если принять, что её фокусное расстояние $\text{F}$ отрицательно, а расстояние до мнимого изображения $\text{f}$ также отрицательно.

Ответ: На основе анализа подобных треугольников, образующихся при построении изображения в рассеивающей линзе, выведена формула $\frac{1}{d} = \frac{1}{f'} - \frac{1}{F'}$, где $d, f', F'$ — положительные расстояния до предмета, изображения и фокуса соответственно. При введении правила знаков, согласно которому для рассеивающей линзы $F < 0$ (т.е. $F' = -F$) и для мнимого изображения $f < 0$ (т.е. $f' = -f$), эта формула преобразуется к стандартному виду формулы тонкой линзы $\frac{1}{d} + \frac{1}{f} = \frac{1}{F}$, что и доказывает её применимость.