Номер 19.15, страница 117 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Оптика. 19. Оптические системы и приборы - номер 19.15, страница 117.

Условие.

19.15*. Найдите оптическую силу $\text{D}$ рассеивающей линзы, дающей изображение предмета на расстоянии $l = 6,0 \text{ см}$ от самого предмета. Высота предмета $h = 8,0 \text{ см}$, высота изображения $H = 4,0 \text{ см}$.

Решение.

Решение 2.

Дано:

Рассеивающая линза

Расстояние между предметом и изображением $l = 6,0$ см

Высота предмета $h = 8,0$ см

Высота изображения $H = 4,0$ см

Перевод в систему СИ:

$l = 0,06$ м

$h = 0,08$ м

$H = 0,04$ м

Найти:

Оптическую силу линзы $\text{D}$.

Решение:

Оптическая сила линзы $\text{D}$ связана с ее фокусным расстоянием $\text{F}$ соотношением $D = \frac{1}{F}$. Для нахождения оптической силы необходимо сначала определить фокусное расстояние линзы.

Воспользуемся формулой тонкой линзы: $\frac{1}{d} + \frac{1}{f} = \frac{1}{F}$, где $\text{d}$ — расстояние от предмета до линзы, а $\text{f}$ — расстояние от линзы до изображения.

В условии сказано, что линза рассеивающая. Рассеивающая линза всегда дает мнимое, прямое и уменьшенное изображение действительного предмета. Для мнимого изображения расстояние $\text{f}$ считается отрицательным, а фокусное расстояние $\text{F}$ для рассеивающей линзы также отрицательно. С учетом этого, формула тонкой линзы примет вид: $\frac{1}{d} - \frac{1}{|f|} = -\frac{1}{|F|}$.

Поперечное увеличение линзы $\Gamma$ можно найти как отношение высоты изображения $\text{H}$ к высоте предмета $\text{h}$:

$\Gamma = \frac{H}{h} = \frac{4,0 \text{ см}}{8,0 \text{ см}} = 0,5$

Также увеличение равно отношению модуля расстояния до изображения к расстоянию до предмета:

$\Gamma = \frac{|f|}{d}$

Приравнивая два выражения для увеличения, получаем связь между $\text{d}$ и $|f|$:

$\frac{|f|}{d} = 0,5 \implies |f| = 0,5d$

Поскольку изображение, даваемое рассеивающей линзой, мнимое, оно располагается с той же стороны от линзы, что и предмет, и притом между предметом и фокусом линзы. Таким образом, расстояние между предметом и его изображением $\text{l}$ равно разности расстояний $\text{d}$ и $|f|$:

$l = d - |f|$

Подставим в это уравнение найденное соотношение $|f| = 0,5d$ и значение $\text{l}$ из условия:

$6,0 \text{ см} = d - 0,5d$

$6,0 \text{ см} = 0,5d$

Отсюда находим расстояние от предмета до линзы:

$d = \frac{6,0 \text{ см}}{0,5} = 12,0$ см

Теперь можем найти и расстояние от линзы до изображения:

$|f| = 0,5 \cdot d = 0,5 \cdot 12,0 \text{ см} = 6,0$ см

Теперь, зная $\text{d}$ и $|f|$, можем найти фокусное расстояние $\text{F}$ из формулы тонкой линзы. Величина, обратная фокусному расстоянию, и есть оптическая сила $D = \frac{1}{F}$:

$D = \frac{1}{F} = \frac{1}{d} - \frac{1}{|f|} = \frac{1}{12,0 \text{ см}} - \frac{1}{6,0 \text{ см}} = \frac{1}{12} - \frac{2}{12} = -\frac{1}{12} \text{ см}^{-1}$

Чтобы выразить оптическую силу в диоптриях (дптр), необходимо расстояния подставлять в метрах. Переведем $\text{F}$ в метры: $F = -12,0$ см $= -0,12$ м.

Тогда оптическая сила равна:

$D = \frac{1}{-0,12 \text{ м}} = -\frac{100}{12} \text{ дптр} = -\frac{25}{3} \text{ дптр} \approx -8,33$ дптр.

С учетом точности исходных данных, округляем результат до двух значащих цифр.

Ответ: $D \approx -8,3$ дптр.