Номер 19.21, страница 118 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Оптика. 19. Оптические системы и приборы - номер 19.21, страница 118.

Условие.

19.21*. Со спутника, летящего на высоте $H = 150$ км, фотографируют ночной город. Разрешающая способность пленки (наименьшее расстояние между изображениями двух точек, при котором эти изображения не сливаются) $\Delta l = 0,01$ мм. Фокусное расстояние объектива $F = 10$ см. При каком расстоянии $\text{L}$ между уличными фонарями их изображения на снимке получатся раздельными? Оцените время экспозиции $\tau$, при котором движение спутника не приводит к заметному размыванию изображения.

Решение.

Решение 2.

Дано:

Высота полета спутника $H = 150$ км

Разрешающая способность пленки $\Delta l = 0,01$ мм

Фокусное расстояние объектива $F = 10$ см

Перевод в систему СИ:

$H = 150 \cdot 10^3$ м $= 1,5 \cdot 10^5$ м

$\Delta l = 0,01 \cdot 10^{-3}$ м $= 10^{-5}$ м

$F = 10 \cdot 10^{-2}$ м $= 0,1$ м

Найти:

$\text{L}$ — ?

$\tau$ — ?

Решение:

При каком расстоянии L между уличными фонарями их изображения на снимке получатся раздельными?

Поскольку высота спутника $\text{H}$ значительно больше фокусного расстояния объектива $\text{F}$ ($H \gg F$), изображение города формируется в фокальной плоскости объектива. Это означает, что расстояние от объектива до пленки можно считать равным фокусному расстоянию $\text{F}$.

Линейное увеличение $\Gamma$ объектива равно отношению расстояния до изображения (приблизительно $\text{F}$) к расстоянию до объекта ($\text{H}$):

$\Gamma = \frac{F}{H}$

Расстояние $\text{L}$ между двумя фонарями на земле и расстояние $\text{l}$ между их изображениями на пленке связаны соотношением: $l = \Gamma \cdot L$.

Чтобы изображения фонарей были раздельными, расстояние между ними на пленке $\text{l}$ должно быть не меньше разрешающей способности пленки $\Delta l$. Для определения минимального расстояния $\text{L}$ примем $l = \Delta l$:

$\Delta l = \frac{F}{H} \cdot L$

Отсюда выразим искомое расстояние $\text{L}$:

$L = \frac{\Delta l \cdot H}{F}$

Подставим числовые значения в системе СИ:

$L = \frac{10^{-5} \, \text{м} \cdot 1,5 \cdot 10^5 \, \text{м}}{0,1 \, \text{м}} = \frac{1,5}{0,1} \, \text{м} = 15 \, \text{м}$

Ответ: Чтобы изображения уличных фонарей на снимке получились раздельными, расстояние между ними должно быть не менее 15 м.

Оцените время экспозиции τ, при котором движение спутника не приводит к заметному размыванию изображения.

Чтобы изображение не было размытым из-за движения спутника, смещение изображения на пленке за время экспозиции $\tau$ не должно превышать разрешающую способность пленки $\Delta l$.

За время $\tau$ спутник пролетит расстояние $s_{сп} = v \cdot \tau$, где $\text{v}$ — скорость спутника на орбите.

Изображение на пленке за это же время сместится на расстояние $s_{из}$, которое связано с $s_{сп}$ через линейное увеличение $\Gamma$:

$s_{из} = \Gamma \cdot s_{сп} = \frac{F}{H} \cdot v \cdot \tau$

Условие отсутствия заметного размывания: $s_{из} \le \Delta l$. Для оценки максимального времени экспозиции примем $s_{из} = \Delta l$:

$\frac{F}{H} \cdot v \cdot \tau = \Delta l$

Отсюда время экспозиции: $\tau = \frac{\Delta l \cdot H}{v \cdot F}$.

Найдем скорость спутника на круговой орбите. На этой высоте сила всемирного тяготения сообщает спутнику центростремительное ускорение. Так как высота орбиты $H=150$ км значительно меньше радиуса Земли ($R_З \approx 6400$ км), для оценки можно считать скорость спутника примерно равной первой космической скорости:

$v \approx v_1 = \sqrt{g R_З} \approx \sqrt{9,8 \, \text{м/с}^2 \cdot 6,4 \cdot 10^6 \, \text{м}} \approx 7,9 \cdot 10^3 \, \text{м/с}$

Подставим значения в формулу для $\tau$:

$\tau = \frac{10^{-5} \, \text{м} \cdot 1,5 \cdot 10^5 \, \text{м}}{7,9 \cdot 10^3 \, \text{м/с} \cdot 0,1 \, \text{м}} = \frac{1,5}{790} \, \text{с} \approx 0,0019 \, \text{с}$

$\tau \approx 1,9 \cdot 10^{-3}$ с

Ответ: Время экспозиции, при котором движение спутника не приводит к заметному размыванию изображения, не должно превышать примерно $1,9 \cdot 10^{-3}$ с (1,9 мс).