Номер 130, страница 24 - гдз по физике 8 класс сборник вопросов и задач Марон, Марон

Тепловые явления. Количество теплоты. Удельная теплоёмкость - номер 130, страница 24.

Условие.

130. Для получения цементного раствора в цемент массой 40 кг при температуре 4°C налили тёплую воду объёмом 60 л. Определите начальную температуру воды, если раствор получен при температуре 24°C.

Решение.

Дано:

Масса цемента $m_ц = 40$ кг
Начальная температура цемента $t_ц = 4$ °С
Объем воды $V_в = 60$ л
Конечная температура раствора $t = 24$ °С
Удельная теплоемкость цемента (справочное значение) $c_ц = 840$ Дж/(кг·°С)
Удельная теплоемкость воды (справочное значение) $c_в = 4200$ Дж/(кг·°С)
Плотность воды (справочное значение) $\rho_в = 1000$ кг/м³

$V_в = 60 \text{ л} = 60 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3 = 0.06 \text{ м}^3$

Найти:

Начальная температура воды $t_в$ — ?

Решение:

При смешивании цемента и воды происходит теплообмен. Тёплая вода отдает тепло, а холодный цемент его поглощает до тех пор, пока их температуры не выровняются. Согласно закону сохранения энергии, количество теплоты, отданное водой ($Q_в$), равно количеству теплоты, полученному цементом ($Q_ц$), при условии, что теплообменом с окружающей средой можно пренебречь. Это выражается уравнением теплового баланса:

$Q_{отданное} = Q_{полученное}$

$Q_в = Q_ц$

Количество теплоты, отданное водой при остывании от начальной температуры $t_в$ до конечной температуры $\text{t}$, рассчитывается по формуле:

$Q_в = c_в \cdot m_в \cdot (t_в - t)$

Количество теплоты, полученное цементом при нагревании от начальной температуры $t_ц$ до конечной $\text{t}$:

$Q_ц = c_ц \cdot m_ц \cdot (t - t_ц)$

Прежде чем составить уравнение, найдем массу воды, зная ее объем и плотность:

$m_в = \rho_в \cdot V_в = 1000 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \cdot 0.06 \text{ м}^3 = 60$ кг

Теперь приравняем правые части выражений для $Q_в$ и $Q_ц$:

$c_в \cdot m_в \cdot (t_в - t) = c_ц \cdot m_ц \cdot (t - t_ц)$

Выразим из этого уравнения искомую начальную температуру воды $t_в$:

$t_в - t = \frac{c_ц \cdot m_ц \cdot (t - t_ц)}{c_в \cdot m_в}$

$t_в = t + \frac{c_ц \cdot m_ц \cdot (t - t_ц)}{c_в \cdot m_в}$

Подставим числовые значения в полученную формулу и произведем вычисления:

$t_в = 24 + \frac{840 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{°С}} \cdot 40 \text{ кг} \cdot (24 \text{°С} - 4 \text{°С})}{4200 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{°С}} \cdot 60 \text{ кг}}$

$t_в = 24 + \frac{840 \cdot 40 \cdot 20}{4200 \cdot 60} = 24 + \frac{672000}{252000} = 24 + \frac{8}{3}$

$t_в \approx 24 + 2.67 \approx 26.67$ °С

Ответ: начальная температура воды была приблизительно 26,7 °С.