Номер 131, страница 24 - гдз по физике 8 класс сборник вопросов и задач Марон, Марон

Тепловые явления. Количество теплоты. Удельная теплоёмкость - номер 131, страница 24.

Условие.

131. Для получения цементного раствора объёмом $1 \text{ м}^3$ смешали цемент массой $240 \text{ кг}$ при температуре $5 \text{ °С}$, песок массой $1500 \text{ кг}$ при температуре $5 \text{ °С}$ и воду объёмом $300 \text{ л}$ при температуре $40 \text{ °С}$. Определите температуру раствора.

Решение.

Дано:

Масса цемента, $m_ц = 240$ кг
Начальная температура цемента, $t_ц = 5$ °C
Масса песка, $m_п = 1500$ кг
Начальная температура песка, $t_п = 5$ °C
Объем воды, $V_в = 300$ л = $0.3$ м³
Начальная температура воды, $t_в = 40$ °C
Удельная теплоемкость воды, $c_в = 4200$ Дж/(кг·°С) (справочное значение)
Удельная теплоемкость цемента, $c_ц = 800$ Дж/(кг·°С) (справочное значение)
Удельная теплоемкость песка, $c_п = 840$ Дж/(кг·°С) (справочное значение)
Плотность воды, $\rho_в = 1000$ кг/м³

Найти:

Конечная температура раствора, $t_к$ - ?

Решение:

Для нахождения конечной температуры раствора воспользуемся уравнением теплового баланса. В изолированной системе количество теплоты, отданное более нагретыми телами, равно количеству теплоты, полученному более холодными телами. В данном случае горячая вода отдает тепло, а холодные цемент и песок его получают. Предполагаем, что теплообменом с окружающей средой и теплотой химической реакции гидратации цемента можно пренебречь.
Уравнение теплового баланса имеет вид:
$Q_{отданное} = Q_{полученное}$
Количество теплоты, отданное водой:
$Q_в = c_в m_в (t_в - t_к)$
Количество теплоты, полученное цементом и песком:
$Q_{ц+п} = Q_ц + Q_п = c_ц m_ц (t_к - t_ц) + c_п m_п (t_к - t_п)$
Приравниваем отданную и полученную теплоту:
$c_в m_в (t_в - t_к) = c_ц m_ц (t_к - t_ц) + c_п m_п (t_к - t_п)$
Прежде всего, найдем массу воды, используя ее объем и плотность:
$m_в = \rho_в \cdot V_в = 1000 \frac{кг}{м^3} \cdot 0.3 \text{ м}^3 = 300$ кг.
Поскольку начальные температуры цемента и песка одинаковы ($t_ц = t_п = 5$ °C), обозначим эту температуру как $t_{цп}$ и упростим правую часть уравнения:
$c_в m_в (t_в - t_к) = (c_ц m_ц + c_п m_п) (t_к - t_{цп})$
Теперь выразим из этого уравнения искомую конечную температуру $t_к$:
$c_в m_в t_в - c_в m_в t_к = (c_ц m_ц + c_п m_п) t_к - (c_ц m_ц + c_п m_п) t_{цп}$
$c_в m_в t_в + (c_ц m_ц + c_п m_п) t_{цп} = (c_в m_в + c_ц m_ц + c_п m_п) t_к$
$t_к = \frac{c_в m_в t_в + (c_ц m_ц + c_п m_п) t_{цп}}{c_в m_в + c_ц m_ц + c_п m_п}$
Подставим числовые значения в полученную формулу:
$t_к = \frac{4200 \cdot 300 \cdot 40 + (800 \cdot 240 + 840 \cdot 1500) \cdot 5}{4200 \cdot 300 + 800 \cdot 240 + 840 \cdot 1500}$
Выполним вычисления:
$t_к = \frac{1260000 \cdot 40 + (192000 + 1260000) \cdot 5}{1260000 + 192000 + 1260000}$
$t_к = \frac{50400000 + 1452000 \cdot 5}{2712000}$
$t_к = \frac{50400000 + 7260000}{2712000}$
$t_к = \frac{57660000}{2712000} \approx 21.26$ °C
Округлим результат до десятых.
$t_к \approx 21.3$ °C

Ответ: температура раствора составит примерно $21.3$ °C.