Номер 588, страница 92 - гдз по физике 8 класс сборник вопросов и задач Марон, Марон

Электрические явления. Параллельное соединение проводников - номер 588, страница 92.

Условие.

588. Начертите схемы возможных различных соединений, состоящих из четырёх одинаковых резисторов.

Решение.

Для четырёх одинаковых резисторов существует 10 различных схем соединения (топологий), которые можно составить, используя только последовательные и параллельные комбинации. Непоследовательно-параллельные схемы (например, мостовые) для четырёх элементов невозможны. Ниже представлены все возможные схемы с расчётом их эквивалентного сопротивления. Обозначим сопротивление каждого резистора как $\text{R}$.

1. Последовательное соединение

Все четыре резистора соединены последовательно, один за другим.

Эквивалентное сопротивление цепи равно сумме сопротивлений всех резисторов: $R_{общ} = R + R + R + R = 4R$.

Ответ: $R_{общ} = 4R$.

2. Параллельное соединение

Все четыре резистора соединены параллельно.

Величина, обратная эквивалентному сопротивлению, равна сумме величин, обратных сопротивлениям ветвей: $\frac{1}{R_{общ}} = \frac{1}{R} + \frac{1}{R} + \frac{1}{R} + \frac{1}{R} = \frac{4}{R}$. Следовательно, $R_{общ} = \frac{R}{4}$.

Ответ: $R_{общ} = \frac{R}{4}$.

3. Смешанное соединение: один резистор последовательно с группой из трех параллельных

Один резистор соединен последовательно с блоком, состоящим из трех параллельно соединенных резисторов.

Сопротивление параллельного блока: $R_{пар} = (\frac{1}{R} + \frac{1}{R} + \frac{1}{R})^{-1} = \frac{R}{3}$. Общее сопротивление: $R_{общ} = R + R_{пар} = R + \frac{R}{3} = \frac{4R}{3}$.

Ответ: $R_{общ} = \frac{4R}{3}$.

4. Смешанное соединение: один резистор параллельно с группой из трех последовательных

Один резистор соединен параллельно с цепью, состоящей из трех последовательно соединенных резисторов.

Сопротивление последовательной цепи: $R_{посл} = R + R + R = 3R$. Общее сопротивление: $R_{общ} = (\frac{1}{R} + \frac{1}{3R})^{-1} = (\frac{3+1}{3R})^{-1} = \frac{3R}{4}$.

Ответ: $R_{общ} = \frac{3R}{4}$.

5. Смешанное соединение: две параллельные ветви по два последовательных резистора

Схема состоит из двух параллельных ветвей, в каждой из которых по два последовательно соединенных резистора.

Сопротивление каждой ветви: $R_{ветвь} = R + R = 2R$. Общее сопротивление: $R_{общ} = (\frac{1}{2R} + \frac{1}{2R})^{-1} = R$.

Ответ: $R_{общ} = R$.

6. Смешанное соединение: два последовательных блока по два параллельных резистора

Схема состоит из двух последовательно соединенных блоков, в каждом из которых по два параллельно соединенных резистора.

Сопротивление каждого блока: $R_{блок} = (\frac{1}{R} + \frac{1}{R})^{-1} = \frac{R}{2}$. Общее сопротивление: $R_{общ} = \frac{R}{2} + \frac{R}{2} = R$.

Ответ: $R_{общ} = R$.

7. Смешанное соединение: три параллельные ветви, одна из которых содержит два последовательных резистора

Схема состоит из трех параллельных ветвей: две ветви содержат по одному резистору, а третья — два последовательно соединенных резистора.

Сопротивление ветви с двумя резисторами: $\text{2R}$. Общее сопротивление: $R_{общ} = (\frac{1}{2R} + \frac{1}{R} + \frac{1}{R})^{-1} = (\frac{1+2+2}{2R})^{-1} = \frac{2R}{5}$.

Ответ: $R_{общ} = \frac{2R}{5}$.

8. Смешанное соединение: два резистора и блок из двух параллельных соединены последовательно

Схема состоит из двух последовательно соединенных резисторов и блока из двух параллельных резисторов, также соединенных последовательно с первыми двумя.

Сопротивление параллельного блока: $R_{пар} = \frac{R}{2}$. Общее сопротивление: $R_{общ} = R + R + R_{пар} = 2R + \frac{R}{2} = \frac{5R}{2}$.

Ответ: $R_{общ} = \frac{5R}{2}$.

9. Смешанное соединение: резистор последовательно с блоком (резистор параллельно цепи из двух)

Один резистор соединен последовательно с блоком, который состоит из одного резистора, соединенного параллельно с цепью из двух последовательных резисторов.

Сопротивление блока: $R_{блок} = (\frac{1}{R+R} + \frac{1}{R})^{-1} = (\frac{1}{2R} + \frac{1}{R})^{-1} = \frac{2R}{3}$. Общее сопротивление: $R_{общ} = R_{блок} + R = \frac{2R}{3} + R = \frac{5R}{3}$.

Ответ: $R_{общ} = \frac{5R}{3}$.

10. Смешанное соединение: резистор параллельно с ветвью (резистор последовательно с блоком из двух)

Один резистор соединен параллельно с ветвью, которая состоит из одного резистора, соединенного последовательно с блоком из двух параллельных резисторов.

Сопротивление ветви: $R_{ветвь} = R + (\frac{1}{R} + \frac{1}{R})^{-1} = R + \frac{R}{2} = \frac{3R}{2}$. Общее сопротивление: $R_{общ} = (\frac{1}{R} + \frac{1}{R_{ветвь}})^{-1} = (\frac{1}{R} + \frac{1}{3R/2})^{-1} = (\frac{1}{R} + \frac{2}{3R})^{-1} = (\frac{5}{3R})^{-1} = \frac{3R}{5}$.

Ответ: $R_{общ} = \frac{3R}{5}$.