Номер 215, страница 43 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 7. Средняя линия треугольника. Глава 1. Четырёхугольники - номер 215, страница 43.

Условие 2023.

215. Пять точек принадлежат равностороннему треугольнику, сторона которого равна 1 см. Докажите, что из этих точек можно выбрать две, расстояние между которыми не более 0,5 см.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Для решения этой задачи воспользуемся принципом Дирихле.

Рассмотрим равносторонний треугольник со стороной 1 см. Разделим его на четыре меньших равносторонних треугольника, соединив середины его сторон.

Каждый из этих четырех меньших треугольников будет равносторонним, и длина его стороны будет равна половине стороны исходного треугольника, то есть $1 \text{ см} / 2 = 0,5 \text{ см}$.

Эти четыре меньших треугольника полностью покрывают исходный большой треугольник. Будем рассматривать их как "клетки" для "кроликов" (точек).

У нас есть 5 точек ("кроликов"), которые нужно разместить в 4 треугольника ("клетки"). Согласно принципу Дирихле, если число кроликов больше числа клеток, то по крайней мере в одной клетке окажется как минимум два кролика.

Следовательно, по крайней мере в одном из малых треугольников окажутся как минимум две из пяти заданных точек.

Максимальное расстояние между любыми двумя точками, принадлежащими равностороннему треугольнику (включая его границу), не превышает длины его стороны. Для наших малых треугольников это расстояние не превышает 0,5 см.

Таким образом, мы нашли две точки, которые лежат в одном и том же малом треугольнике со стороной 0,5 см, и расстояние между ними не может быть более 0,5 см. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

Условие 2015-2022.

215. Пять точек принадлежат равностороннему треугольнику, сторона которого равна 1 см. Докажите, что из этих точек можно выбрать две, расстояние между которыми не более 0,5 см.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).