Номер 208, страница 42 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 7. Средняя линия треугольника. Глава 1. Четырёхугольники - номер 208, страница 42.

Условие 2023.

208. Постройте треугольник по серединам трёх его сторон.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Для решения этой задачи воспользуемся свойством средней линии треугольника. Пусть даны три точки M, N, и P, являющиеся серединами сторон искомого треугольника. Предполагается, что эти три точки не лежат на одной прямой, иначе построение треугольника невозможно.

Анализ

Пусть искомый треугольник — это $ \triangle ABC $, а точки M, N, P — середины его сторон $AB$, $BC$ и $AC$ соответственно. Отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, называется его средней линией. По свойству средней линии треугольника:

• Средняя линия $MN$ параллельна стороне $AC$ и равна её половине ($MN \parallel AC$, $MN = \frac{1}{2}AC$).
• Средняя линия $NP$ параллельна стороне $AB$ и равна её половине ($NP \parallel AB$, $NP = \frac{1}{2}AB$).
• Средняя линия $PM$ параллельна стороне $BC$ и равна её половине ($PM \parallel BC$, $PM = \frac{1}{2}BC$).

Из этих свойств следует, что стороны искомого треугольника $ABC$ параллельны сторонам треугольника $MNP$. А именно, сторона $AB$ параллельна $NP$, сторона $BC$ параллельна $PM$, и сторона $AC$ параллельна $MN$. Этот факт и является ключом к построению.

Построение

Построение выполняется с помощью циркуля и линейки:

1. Соединяем данные точки M, N, и P отрезками, чтобы получить так называемый срединный треугольник $MNP$.
2. Через точку M проводим прямую $l_{AB}$, параллельную отрезку $NP$.
3. Через точку N проводим прямую $l_{BC}$, параллельную отрезку $MP$.
4. Через точку P проводим прямую $l_{AC}$, параллельную отрезку $MN$.
5. Три построенные прямые попарно пересекутся в трех точках, которые и будут вершинами искомого треугольника $ABC$:
   • Вершина A — точка пересечения прямых $l_{AB}$ и $l_{AC}$.
   • Вершина B — точка пересечения прямых $l_{AB}$ и $l_{BC}$.
   • Вершина C — точка пересечения прямых $l_{BC}$ и $l_{AC}$.

Треугольник $ABC$ — искомый.

Доказательство

Теперь докажем, что точки M, N и P действительно являются серединами сторон построенного нами треугольника $ABC$.

1. Рассмотрим четырехугольник $APNM$. По построению, сторона $AP$ лежит на прямой $l_{AC}$, которая параллельна $MN$. Следовательно, $AP \parallel MN$. Сторона $AM$ лежит на прямой $l_{AB}$, которая параллельна $NP$. Следовательно, $AM \parallel PN$. Так как противолежащие стороны четырехугольника $APNM$ попарно параллельны, он является параллелограммом. Из свойств параллелограмма следует, что длины его противолежащих сторон равны: $AM = PN$ и $AP = MN$.

2. Рассмотрим четырехугольник $MBNP$. По построению, сторона $MB$ лежит на прямой $l_{AB}$, параллельной $NP$, значит $MB \parallel PN$. Сторона $BN$ лежит на прямой $l_{BC}$, параллельной $MP$, значит $BN \parallel MP$. Следовательно, $MBNP$ — также параллелограмм. Отсюда $MB = PN$ и $BN = MP$.

Из пунктов 1 и 2 мы имеем $AM = PN$ и $MB = PN$. Это означает, что $AM = MB$. Поскольку точки A, M, B лежат на одной прямой $l_{AB}$, точка M является серединой стороны $AB$.

3. Рассмотрим четырехугольник $NCPM$. Сторона $NC$ лежит на прямой $l_{BC}$, параллельной $MP$, значит $NC \parallel MP$. Сторона $PC$ лежит на прямой $l_{AC}$, параллельной $MN$, значит $PC \parallel MN$. Следовательно, $NCPM$ — параллелограмм. Отсюда $NC = MP$ и $PC = MN$.

Из параллелограмма $MBNP$ мы получили $BN = MP$. Теперь из параллелограмма $NCPM$ мы имеем $NC = MP$. Значит, $BN = NC$. Поскольку точки B, N, C лежат на одной прямой $l_{BC}$, точка N является серединой стороны $BC$.

Наконец, из параллелограмма $APNM$ мы имеем $AP = MN$, а из параллелограмма $NCPM$ — $PC = MN$. Значит, $AP = PC$. Поскольку точки A, P, C лежат на одной прямой $l_{AC}$, точка P является серединой стороны $AC$.

Таким образом, мы доказали, что M, N, P — середины сторон построенного треугольника $ABC$, а значит, построение выполнено верно.

Ответ: Для построения искомого треугольника необходимо через каждую из трех заданных точек (середин сторон) провести прямую, параллельную прямой, соединяющей две другие точки. Три построенные прямые при пересечении образуют вершины искомого треугольника.

Условие 2015-2022.

208. Постройте треугольник по серединам трёх его сторон.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).