Номер 204, страница 42 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 7. Средняя линия треугольника. Глава 1. Четырёхугольники - номер 204, страница 42.

Условие 2023.

204. Вершинами четырёхугольника являются середины сторон прямоугольника с диагональю 12 см. Определите вид четырёхугольника и найдите его стороны.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть дан прямоугольник $ABCD$. Длина его диагонали $d = 12$ см. В прямоугольнике диагонали равны, следовательно, $AC = BD = 12$ см.

Пусть точки $E, F, G, H$ являются серединами сторон $AB, BC, CD, DA$ соответственно. Эти точки являются вершинами искомого четырехугольника $EFGH$.

Определите вид четырёхугольника

Рассмотрим треугольник $\triangle ABC$. Отрезок $EF$ соединяет середины сторон $AB$ и $BC$, следовательно, $EF$ является средней линией этого треугольника. По свойству средней линии, отрезок $EF$ параллелен стороне $AC$ и равен ее половине: $EF \parallel AC$ и $EF = \frac{1}{2}AC$.

Аналогично, в треугольнике $\triangle ADC$ отрезок $GH$ является средней линией. Следовательно, $GH \parallel AC$ и $GH = \frac{1}{2}AC$.

Из этого следует, что $EF \parallel GH$ и $EF = GH$. Если в четырехугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм (согласно теореме Вариньона). Таким образом, $EFGH$ — это параллелограмм.

Теперь рассмотрим сторону $EH$. В треугольнике $\triangle ABD$ отрезок $EH$ соединяет середины сторон $AB$ и $AD$, значит, он является средней линией. Поэтому $EH \parallel BD$ и $EH = \frac{1}{2}BD$.

Мы знаем, что в прямоугольнике диагонали равны: $AC = BD$.

Сравним длины смежных сторон параллелограмма $EFGH$: $EF = \frac{1}{2}AC$ и $EH = \frac{1}{2}BD$. Так как $AC = BD$, то и $EF = EH$.

Параллелограмм, у которого смежные стороны равны, является ромбом.

Ответ: вид четырёхугольника — ромб.

Найдите его стороны

Поскольку $EFGH$ — ромб, все его стороны равны. Мы установили, что длина стороны ромба равна половине длины диагонали исходного прямоугольника.

Длина диагонали прямоугольника по условию $d=12$ см.

Следовательно, длина каждой стороны ромба равна: $EF = FG = GH = HE = \frac{1}{2}d = \frac{1}{2} \times 12 = 6$ см.

Ответ: стороны четырёхугольника равны 6 см.

Условие 2015-2022.

204. Вершинами четырёхугольника являются середины сторон прямоугольника с диагональю 12 см. Определите вид четырёхугольника и найдите его стороны.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).