Номер 200, страница 42 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 7. Средняя линия треугольника. Глава 1. Четырёхугольники - номер 200, страница 42.

Условие 2023.

200. Найдите углы треугольника, две средние линии которого равны и перпендикулярны.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть дан треугольник $ \triangle ABC $ со сторонами $ a, b, c $ и углами $ \angle A, \angle B, \angle C $. Пусть $ D, E, F $ — середины сторон $ BC, AC $ и $ AB $ соответственно. Тогда отрезки $ DE, EF $ и $ FD $ — средние линии треугольника $ \triangle ABC $.

По свойству средней линии треугольника, она параллельна третьей стороне и равна её половине:

• $ DE $ — средняя линия, параллельная стороне $ AB $, и её длина $ DE = \frac{1}{2} AB = \frac{c}{2} $.
• $ EF $ — средняя линия, параллельная стороне $ BC $, и её длина $ EF = \frac{1}{2} BC = \frac{a}{2} $.
• $ FD $ — средняя линия, параллельная стороне $ AC $, и её длина $ FD = \frac{1}{2} AC = \frac{b}{2} $.

По условию задачи две средние линии равны и перпендикулярны. Выберем, например, средние линии $ FD $ и $ DE $.

Из условия, что они равны, следует:
$ FD = DE $
$ \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} AB $
$ AC = AB $, то есть $ b = c $.
Это означает, что треугольник $ \triangle ABC $ является равнобедренным, а углы при его основании равны: $ \angle B = \angle C $.

Из условия, что эти же средние линии перпендикулярны, следует:
$ FD \perp DE $
Поскольку $ FD \parallel AC $ и $ DE \parallel AB $, угол между средними линиями $ FD $ и $ DE $ равен углу между сторонами $ AC $ и $ AB $, то есть углу $ \angle A $.
Так как $ FD \perp DE $, угол между ними равен $ 90^\circ $. Следовательно, $ \angle A = 90^\circ $.

Таким образом, треугольник $ \triangle ABC $ — прямоугольный и равнобедренный. Найдем его углы. Сумма углов в треугольнике равна $ 180^\circ $:
$ \angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ $
Подставим известные значения и соотношения:
$ 90^\circ + \angle B + \angle B = 180^\circ $
$ 2\angle B = 180^\circ - 90^\circ $
$ 2\angle B = 90^\circ $
$ \angle B = 45^\circ $
Поскольку $ \angle C = \angle B $, то $ \angle C = 45^\circ $.

Итак, углы треугольника равны $ 90^\circ, 45^\circ, 45^\circ $.

Ответ: $ 90^\circ, 45^\circ, 45^\circ $.

Условие 2015-2022.

200. Найдите углы треугольника, две средние линии которого равны и перпендикулярны.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).