Номер 203, страница 42 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 7. Средняя линия треугольника. Глава 1. Четырёхугольники - номер 203, страница 42.

Условие 2023.

203. Вершинами четырёхугольника являются середины сторон ромба с диагоналями 8 см и 14 см. Определите вид четырёхугольника и найдите его стороны.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Определение вида четырёхугольника

Пусть дан ромб $ABCD$ с диагоналями $AC$ и $BD$. Пусть $K, L, M, N$ — середины сторон $AB, BC, CD, DA$ соответственно. Четырёхугольник $KLMN$ — искомый.

Рассмотрим треугольник $ABC$. Отрезок $KL$ соединяет середины сторон $AB$ и $BC$, следовательно, $KL$ является средней линией этого треугольника. По свойству средней линии, $KL$ параллельна основанию $AC$ и равна его половине: $KL \parallel AC$ и $KL = \frac{1}{2}AC$.

Аналогично, в треугольнике $ADC$ отрезок $NM$ является средней линией. Следовательно, $NM \parallel AC$ и $NM = \frac{1}{2}AC$.

Так как $KL \parallel AC$ и $NM \parallel AC$, то $KL \parallel NM$. Поскольку $KL = NM = \frac{1}{2}AC$, то противоположные стороны четырёхугольника $KLMN$ параллельны и равны. Значит, $KLMN$ — параллелограмм.

Рассмотрим треугольник $ABD$. $KN$ — его средняя линия, поэтому $KN \parallel BD$ и $KN = \frac{1}{2}BD$.

По свойству ромба, его диагонали перпендикулярны: $AC \perp BD$.

Так как $KL \parallel AC$ и $KN \parallel BD$, а $AC \perp BD$, то и $KL \perp KN$. Это означает, что угол $\angle LKN$ — прямой.

Параллелограмм, у которого есть прямой угол, является прямоугольником.

Ответ: Прямоугольник.

Нахождение сторон четырёхугольника

Стороны полученного прямоугольника $KLMN$ равны половинам диагоналей исходного ромба.

По условию, диагонали ромба равны $d_1 = 8$ см и $d_2 = 14$ см.

Одна пара противоположных сторон прямоугольника равна половине первой диагонали: $KL = NM = \frac{1}{2} \cdot 14 = 7$ см.

Другая пара противоположных сторон прямоугольника равна половине второй диагонали: $LM = KN = \frac{1}{2} \cdot 8 = 4$ см.

Ответ: 7 см и 4 см.

Условие 2015-2022.

203. Вершинами четырёхугольника являются середины сторон ромба с диагоналями 8 см и 14 см. Определите вид четырёхугольника и найдите его стороны.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).