Номер 206, страница 42 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 7. Средняя линия треугольника. Глава 1. Четырёхугольники - номер 206, страница 42.

Условие 2023.

206. На сторонах $AB$ и $BC$ треугольника $ABC$ отмечены соответственно точки $M$ и $K$ так, что $AM=3BM$, $CK=3BK$. Докажите, что $MK \parallel AC$, и найдите отрезок $MK$, если $AC = 16$ см.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Докажите, что MK || AC

Рассмотрим стороны $AB$ и $BC$ треугольника $ABC$.

По условию, точка $M$ лежит на стороне $AB$ и $AM = 3BM$. Вся сторона $AB$ состоит из отрезков $AM$ и $BM$. Таким образом, мы можем выразить длину $AB$ через $BM$:
$AB = AM + BM = 3BM + BM = 4BM$.

Отсюда найдем отношение отрезка $BM$ к стороне $AB$:
$\frac{BM}{AB} = \frac{BM}{4BM} = \frac{1}{4}$.

Аналогично, по условию, точка $K$ лежит на стороне $BC$ и $CK = 3BK$. Вся сторона $BC$ состоит из отрезков $CK$ и $BK$. Выразим длину $BC$ через $BK$:
$BC = CK + BK = 3BK + BK = 4BK$.

Найдем отношение отрезка $BK$ к стороне $BC$:
$\frac{BK}{BC} = \frac{BK}{4BK} = \frac{1}{4}$.

Мы получили, что $\frac{BM}{AB} = \frac{BK}{BC} = \frac{1}{4}$.

По теореме, обратной теореме Фалеса (или по обобщенной теореме Фалеса), если на двух сторонах треугольника отсекаются пропорциональные отрезки, считая от общей вершины, то прямая, соединяющая концы этих отрезков, параллельна третьей стороне треугольника. Так как отрезки $BM$ и $BK$ пропорциональны сторонам $AB$ и $BC$ соответственно, то прямая $MK$ параллельна стороне $AC$.

Ответ: $MK \parallel AC$, что и требовалось доказать.

Найдите отрезок MK, если AC = 16 см

Рассмотрим треугольники $\triangle MBK$ и $\triangle ABC$.

1. Угол $\angle B$ является общим для обоих треугольников.
2. Из предыдущего пункта мы знаем, что стороны, образующие этот угол, пропорциональны: $\frac{BM}{AB} = \frac{BK}{BC} = \frac{1}{4}$.

Следовательно, по второму признаку подобия треугольников (по двум пропорциональным сторонам и углу между ними), $\triangle MBK \sim \triangle ABC$.

Коэффициент подобия $k$ этих треугольников равен отношению их соответственных сторон:
$k = \frac{BM}{AB} = \frac{BK}{BC} = \frac{1}{4}$.

Отношение третьих сторон $MK$ и $AC$ также равно коэффициенту подобия:
$\frac{MK}{AC} = k = \frac{1}{4}$.

По условию $AC = 16$ см. Подставим это значение в пропорцию и найдем $MK$:
$\frac{MK}{16} = \frac{1}{4}$
$MK = 16 \cdot \frac{1}{4} = 4$ см.

Ответ: 4 см.

Условие 2015-2022.

206. На сторонах $AB$ и $BC$ треугольника $ABC$ отмечены соответственно точки $M$ и $K$ так, что $AM = 3BM$, $CK = 3BK$. Докажите, что $MK \parallel AC$, и найдите $MK$, если $AC = 16$ см.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).