Номер 210, страница 42 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 7. Средняя линия треугольника. Глава 1. Четырёхугольники - номер 210, страница 42.

Условие 2023.

210. Диагонали выпуклого четырёхугольника $ABCD$ перпендикулярны. Через середины сторон $AB$ и $AD$ проведены прямые, перпендикулярные соответственно сторонам $DC$ и $BC$. Докажите, что точка пересечения проведённых прямых принадлежит прямой $AC$.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Введем в рассмотрение радиус-векторы вершин четырехугольника $A, B, C, D$, обозначив их соответственно как $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$. Начало системы координат можно выбрать произвольно.

Пусть $K$ — середина стороны $AB$, а $L$ — середина стороны $AD$. Радиус-векторы этих точек выражаются через радиус-векторы вершин:$\vec{k} = \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2}$
$\vec{l} = \frac{\vec{a} + \vec{d}}{2}$

По условию задачи, диагонали четырехугольника $ABCD$ перпендикулярны, то есть $AC \perp BD$. В векторной форме это условие означает, что скалярное произведение векторов $\vec{AC}$ и $\vec{BD}$ равно нулю:$(\vec{c} - \vec{a}) \cdot (\vec{d} - \vec{b}) = 0$.

Пусть $P$ — точка пересечения прямых, о которых говорится в условии, и $\vec{p}$ — её радиус-вектор.

Первая прямая проходит через точку $K$ и перпендикулярна стороне $DC$. Для любой точки на этой прямой (включая точку $P$) вектор, соединяющий её с точкой $K$, перпендикулярен вектору $\vec{DC} = \vec{c} - \vec{d}$. Это записывается как скалярное произведение:$(\vec{p} - \vec{k}) \cdot (\vec{c} - \vec{d}) = 0$.
Подставим выражение для $\vec{k}$:$(\vec{p} - \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2}) \cdot (\vec{c} - \vec{d}) = 0$.
Умножив на 2, получим:$2\vec{p} \cdot (\vec{c} - \vec{d}) = (\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{c} - \vec{d})$ (1)

Вторая прямая проходит через точку $L$ и перпендикулярна стороне $BC$. Аналогично, для точки $P$ выполняется условие:$(\vec{p} - \vec{l}) \cdot (\vec{c} - \vec{b}) = 0$.
Подставим выражение для $\vec{l}$:$(\vec{p} - \frac{\vec{a} + \vec{d}}{2}) \cdot (\vec{c} - \vec{b}) = 0$.
Умножив на 2, получим:$2\vec{p} \cdot (\vec{c} - \vec{b}) = (\vec{a} + \vec{d}) \cdot (\vec{c} - \vec{b})$ (2)

Теперь раскроем скалярные произведения в уравнениях (1) и (2):
$2\vec{p} \cdot \vec{c} - 2\vec{p} \cdot \vec{d} = \vec{a} \cdot \vec{c} - \vec{a} \cdot \vec{d} + \vec{b} \cdot \vec{c} - \vec{b} \cdot \vec{d}$ (1')
$2\vec{p} \cdot \vec{c} - 2\vec{p} \cdot \vec{b} = \vec{a} \cdot \vec{c} - \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{d} \cdot \vec{c} - \vec{d} \cdot \vec{b}$ (2')

Вычтем уравнение (2') из уравнения (1'):
$(2\vec{p} \cdot \vec{c} - 2\vec{p} \cdot \vec{d}) - (2\vec{p} \cdot \vec{c} - 2\vec{p} \cdot \vec{b}) = (\vec{a} \cdot \vec{c} - \vec{a} \cdot \vec{d} + \vec{b} \cdot \vec{c} - \vec{b} \cdot \vec{d}) - (\vec{a} \cdot \vec{c} - \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{d} \cdot \vec{c} - \vec{d} \cdot \vec{b})$
После упрощения левой части получаем:$2\vec{p} \cdot \vec{b} - 2\vec{p} \cdot \vec{d} = -\vec{a} \cdot \vec{d} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{a} \cdot \vec{b} - \vec{d} \cdot \vec{c}$
$2\vec{p} \cdot (\vec{b} - \vec{d}) = (\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c}) - (\vec{a} \cdot \vec{d} + \vec{d} \cdot \vec{c})$
Сгруппируем слагаемые в правой части иначе:$2\vec{p} \cdot (\vec{b} - \vec{d}) = \vec{b} \cdot (\vec{a} + \vec{c}) - \vec{d} \cdot (\vec{a} + \vec{c})$
$2\vec{p} \cdot (\vec{b} - \vec{d}) = (\vec{b} - \vec{d}) \cdot (\vec{a} + \vec{c})$

Перенесем все члены в одну сторону:$2\vec{p} \cdot (\vec{b} - \vec{d}) - (\vec{a} + \vec{c}) \cdot (\vec{b} - \vec{d}) = 0$
$(2\vec{p} - (\vec{a} + \vec{c})) \cdot (\vec{b} - \vec{d}) = 0$
Разделив на 2, получим:$(\vec{p} - \frac{\vec{a} + \vec{c}}{2}) \cdot (\vec{b} - \vec{d}) = 0$

Пусть $M$ — середина диагонали $AC$. Её радиус-вектор $\vec{m} = \frac{\vec{a} + \vec{c}}{2}$. Вектор $\vec{MP}$ равен $\vec{p} - \vec{m}$. Вектор диагонали $BD$ равен $\vec{d} - \vec{b}$, а вектор $\vec{DB}$ равен $\vec{b} - \vec{d}$. Тогда полученное равенство можно записать в виде:$\vec{MP} \cdot \vec{DB} = 0$.
Это означает, что прямая $MP$ перпендикулярна диагонали $DB$.

Из условия задачи мы знаем, что диагональ $AC$ также перпендикулярна диагонали $DB$ ($AC \perp BD$).Таким образом, прямая $MP$ параллельна прямой $AC$.Поскольку точка $M$ (середина $AC$) принадлежит прямой $AC$, и прямая $MP$ параллельна $AC$, то точка $P$ также должна лежать на прямой $AC$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Точка пересечения проведенных прямых принадлежит прямой AC.

Условие 2015-2022.

210. Диагонали выпуклого четырёхугольника $ABCD$ перпендикулярны. Через середины сторон $AB$ и $AD$ проведены прямые, перпендикулярные соответственно сторонам $DC$ и $BC$. Докажите, что точка пересечения проведённых прямых принадлежит прямой $AC$.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).