Номер 214, страница 43 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 7. Средняя линия треугольника. Глава 1. Четырёхугольники - номер 214, страница 43.

Условие 2023.

214. Диагональ $BD$ параллелограмма $ABCD$ является его высотой и равна стороне $BC$. Найдите сторону $CD$ параллелограмма, если точка $B$ удалена от прямой $CD$ на 4 см.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть $ABCD$ — данный параллелограмм.

По условию, диагональ $BD$ является высотой параллелограмма. Это означает, что $BD$ перпендикулярна одной из сторон, к которой она проведена. Так как $BD$ — диагональ, она соединяет противоположные вершины и не может быть перпендикулярна смежным сторонам $AB$ или $BC$. Следовательно, $BD$ перпендикулярна стороне $AD$ (или ее продолжению). Таким образом, $BD \perp AD$.

В параллелограмме $ABCD$ противоположные стороны параллельны, то есть $AD \parallel BC$. Поскольку прямая $BD$ перпендикулярна $AD$ ($BD \perp AD$) и $AD \parallel BC$, то прямая $BD$ также перпендикулярна и прямой $BC$. Отсюда следует, что угол между стороной $BC$ и диагональю $BD$ прямой: $\angle CBD = 90^\circ$.

Рассмотрим треугольник $\triangle BCD$. Он является прямоугольным, так как $\angle CBD = 90^\circ$.

По условию задачи, диагональ $BD$ равна стороне $BC$, то есть $BD = BC$. Это значит, что прямоугольный треугольник $\triangle BCD$ является еще и равнобедренным.

В равнобедренном прямоугольном треугольнике углы при гипотенузе равны по $45^\circ$. Гипотенузой в $\triangle BCD$ является сторона $CD$. Следовательно, углы $\angle BCD$ и $\angle BDC$ равны:
$\angle BCD = \angle BDC = (180^\circ - 90^\circ) / 2 = 45^\circ$.

В условии сказано, что точка $B$ удалена от прямой $CD$ на 4 см. Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. Проведем из точки $B$ перпендикуляр $BH$ к прямой $CD$. Тогда $BH \perp CD$ и длина этого перпендикуляра $BH = 4$ см.

Рассмотрим новый прямоугольный треугольник $\triangle BHC$. В нем:
- $\angle BHC = 90^\circ$ (по построению $BH$ как перпендикуляра).
- $\angle BCH$ (он же $\angle BCD$) равен $45^\circ$.
- Катет $BH = 4$ см.

Используя синус угла $\angle BCH$, мы можем найти длину гипотенузы $BC$:
$\sin(\angle BCH) = \frac{BH}{BC}$
$\sin(45^\circ) = \frac{4}{BC}$

Так как значение $\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, получаем уравнение:
$\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{4}{BC}$
Отсюда находим $BC$:
$BC = \frac{4 \cdot 2}{\sqrt{2}} = \frac{8}{\sqrt{2}} = \frac{8\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2}$ см.

Из условия мы знаем, что $BD = BC$, значит, $BD = 4\sqrt{2}$ см.

Теперь, зная длины катетов $BC$ и $BD$ в прямоугольном треугольнике $\triangle BCD$, мы можем найти длину его гипотенузы $CD$ по теореме Пифагора:
$CD^2 = BC^2 + BD^2$
$CD^2 = (4\sqrt{2})^2 + (4\sqrt{2})^2$
$CD^2 = (16 \cdot 2) + (16 \cdot 2) = 32 + 32 = 64$
$CD = \sqrt{64} = 8$ см.

Ответ: 8 см.

Условие 2015-2022.

214. Диагональ $BD$ параллелограмма $ABCD$ является его высотой и равна стороне $BC$. Найдите сторону $CD$ параллелограмма, если точка $B$ удалена от прямой $CD$ на 4 см.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).