Номер 211, страница 42 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 7. Средняя линия треугольника. Глава 1. Четырёхугольники - номер 211, страница 42.

Условие 2023.

211. Стороны $AB$ и $CD$ выпуклого четырёхугольника $ABCD$ равны. Через середины диагоналей $AC$ и $BD$ проведена прямая, которая пересекает стороны $AB$ и $CD$ в точках $M$ и $N$ соответственно. Докажите, что $\angle BMN = \angle CNM$.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Для решения этой задачи мы воспользуемся методом вспомогательных построений и свойствами средних линий треугольника.

Доказательство:

1. Обозначим точки K и L как середины диагоналей AC и BD соответственно. По условию, прямая MN проходит через точки K и L.

2. Введём вспомогательную точку P — середину стороны BC.

3. Рассмотрим треугольник ABC. Отрезок PK соединяет середины сторон BC и AC. Следовательно, PK является средней линией треугольника ABC. По свойству средней линии, $PK || AB$ и $PK = \frac{1}{2}AB$.

4. Рассмотрим треугольник BCD. Отрезок PL соединяет середины сторон BC и BD. Следовательно, PL является средней линией треугольника BCD. По свойству средней линии, $PL || CD$ и $PL = \frac{1}{2}CD$.

5. По условию задачи дано, что стороны AB и CD равны: $AB = CD$. Из этого следует, что длины отрезков PK и PL также равны: $PK = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}CD = PL$.

6. Таким образом, треугольник PKL является равнобедренным с основанием KL, так как его боковые стороны PK и PL равны.

7. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Следовательно, $\angle PKL = \angle PLK$.

8. Теперь свяжем эти углы с углами, которые прямая MN образует со сторонами AB и CD. Прямая MN — это та же прямая, что и KL.

• Поскольку $PK || AB$, угол, который прямая MN (KL) образует с прямой AB, равен углу $\angle PKL$.
• Поскольку $PL || CD$, угол, который прямая MN (KL) образует с прямой CD, равен углу $\angle PLK$.

Из равенства углов $\angle PKL = \angle PLK$ следует, что прямая MN образует равные углы с прямыми AB и CD.

9. Докажем теперь, что из этого следует равенство $\angle BMN = \angle CNM$. Проведём через точку N прямую $l$, параллельную прямой AB. Пусть прямая MN пересекает прямую $l$ в точке N. Угол, который прямая MN образует с прямой $l$, равен углу, который MN образует с AB. Следовательно, прямая MN образует равные углы с прямыми $l$ и CD. Это означает, что прямая MN является одной из биссектрис углов, образованных пересечением прямых $l$ и CD.

Рассмотрим векторы. Пусть P — середина AD. Тогда $\vec{PL} = \frac{1}{2}\vec{AB}$ и $\vec{PK} = \frac{1}{2}\vec{DC}$. Вектор направления прямой MN, $\vec{MN} \parallel \vec{LK} = \vec{PK} - \vec{PL} = \frac{1}{2}(\vec{DC} - \vec{AB})$. Этот вектор является направляющим вектором внешней биссектрисы угла между векторами $\vec{AB}$ и $\vec{DC}$.

Пусть $M-N-Q$ — точки на прямой MN. Пусть $A'-N-B'$ — прямая $l$, параллельная AB, где $\vec{NB'} \parallel \vec{AB}$. Пусть $D-N-C$ — прямая CD. Поскольку MN — внешняя биссектриса, то $\angle A'NQ = \angle QNC$.

Рассмотрим углы $\angle BMN$ и $\angle CNM$.

• Прямые AB и $l$ (A'B') параллельны, а MN — секущая. Углы $\angle BMN$ и $\angle B'NM$ — внутренние односторонние, их сумма равна $180^\circ$: $\angle BMN + \angle B'NM = 180^\circ$.
• Углы $\angle B'NM$ и $\angle A'NQ$ — вертикальные, следовательно, $\angle B'NM = \angle A'NQ$.
• Подставляя, получаем $\angle BMN + \angle A'NQ = 180^\circ$.
• Так как $\angle A'NQ = \angle QNC$, то $\angle BMN + \angle QNC = 180^\circ$.
• Углы $\angle QNC$ и $\angle CNM$ — смежные, их сумма равна $180^\circ$: $\angle QNC + \angle CNM = 180^\circ$, откуда $\angle QNC = 180^\circ - \angle CNM$.
• Подставляем это выражение в предыдущее равенство: $\angle BMN + (180^\circ - \angle CNM) = 180^\circ$.
• Упрощая, получаем: $\angle BMN - \angle CNM = 0$, то есть $\angle BMN = \angle CNM$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $\angle BMN = \angle CNM$ доказано.

Условие 2015-2022.

211. Стороны $AB$ и $CD$ выпуклого четырёхугольника $ABCD$ равны. Через середины диагоналей $AC$ и $BD$ проведена прямая, которая пересекает стороны $AB$ и $CD$ в точках $M$ и $N$ соответственно. Докажите, что $\angle BMN = \angle CNM$.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).