Номер 207, страница 42 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 7. Средняя линия треугольника. Глава 1. Четырёхугольники - номер 207, страница 42.

Условие 2023.

207. Углы $BAD$ и $BCE$ – внешние углы треугольника $ABC$. Из вершины $B$ проведены перпендикуляры $BM$ и $BK$ к биссектрисам углов $BAD$ и $BCE$ соответственно. Найдите отрезок $MK$, если периметр треугольника $ABC$ равен 18 см.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть $AM'$ — биссектриса внешнего угла $\angle BAD$ треугольника $ABC$, а $CK'$ — биссектриса внешнего угла $\angle BCE$. По условию, $BM \perp AM'$ и $BK \perp CK'$. Точки D, A, C, E лежат на одной прямой, так как углы $\angle BAD$ и $\angle BCE$ являются внешними углами при вершинах A и C треугольника $ABC$.

1. Рассмотрим треугольник, связанный с точкой M. Продлим отрезок $BM$ до пересечения с прямой $AC$ в точке $P$. В треугольнике $\triangle ABP$ отрезок $AM'$ является биссектрисой угла $\angle PAB$ (так как $\angle PAB$ и $\angle DAB$ — это один и тот же угол). По построению, $BM \perp AM'$, следовательно, $AM'$ является также и высотой в треугольнике $\triangle ABP$. Если в треугольнике биссектриса и высота, проведенные из одной вершины, совпадают, то этот треугольник является равнобедренным. Следовательно, $\triangle ABP$ — равнобедренный, и $AB = AP$. Кроме того, в равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является и медианой. Значит, точка $M$ — середина отрезка $BP$.

2. Рассмотрим треугольник, связанный с точкой K. Аналогично, продлим отрезок $BK$ до пересечения с прямой $AC$ в точке $Q$. В треугольнике $\triangle CBQ$ отрезок $CK'$ является биссектрисой угла $\angle BCQ$ (так как $\angle BCQ$ и $\angle BCE$ — это один и тот же угол). По построению, $BK \perp CK'$, следовательно, $CK'$ является также и высотой в треугольнике $\triangle CBQ$. Таким образом, $\triangle CBQ$ — равнобедренный, и $BC = CQ$. Высота $CK'$ также является и медианой, поэтому точка $K$ — середина отрезка $BQ$.

3. Найдем длину отрезка MK. Рассмотрим треугольник $\triangle PBQ$. Мы установили, что точка $M$ является серединой стороны $BP$, а точка $K$ является серединой стороны $BQ$. Следовательно, отрезок $MK$ является средней линией треугольника $\triangle PBQ$. По свойству средней линии, ее длина равна половине длины третьей стороны треугольника, то есть $MK = \frac{1}{2} PQ$.

4. Вычислим длину стороны PQ. Точки $P, A, C, Q$ лежат на одной прямой. Длина отрезка $PQ$ складывается из длин отрезков $PA, AC$ и $CQ$: $PQ = PA + AC + CQ$. Из предыдущих пунктов мы знаем, что $PA = AB$ и $CQ = BC$. Подставим эти значения в выражение для $PQ$: $PQ = AB + AC + BC$. Эта сумма представляет собой периметр треугольника $ABC$, который по условию равен 18 см. $P_{ABC} = AB + AC + BC = 18$ см. Следовательно, $PQ = 18$ см.

5. Итоговый расчет. Теперь мы можем найти длину отрезка $MK$: $MK = \frac{1}{2} PQ = \frac{1}{2} \times 18 = 9$ см.

Ответ: 9 см.

Условие 2015-2022.

207. Углы $BAD$ и $BCE$ – внешние углы треугольника $ABC$. Из вершины $B$ проведены перпендикуляры $BM$ и $BK$ к биссектрисам углов $BAD$ и $BCE$ соответственно. Найдите отрезок $MK$, если периметр тре- угольника $ABC$ равен 18 см.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).