Номер 209, страница 42 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 7. Средняя линия треугольника. Глава 1. Четырёхугольники - номер 209, страница 42.

Условие 2023.

209. Постройте параллелограмм по серединам трёх его сторон.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть искомый параллелограмм — $ABCD$, а $M, N, P$ — середины трёх его сторон. В условии задачи не уточнено, середины каких именно сторон заданы. Это приводит к неоднозначности и, как следствие, к трём возможным решениям. Рассмотрим один из случаев, когда точки $M, N, P$ являются серединами последовательно идущих сторон $AB, BC, CD$. Остальные случаи решаются аналогично.

Анализ

Пусть вершины параллелограмма заданы радиус-векторами $A, B, C, D$. Тогда координаты середин сторон $M, N, P$ будут: $M = \frac{A+B}{2}$ $N = \frac{B+C}{2}$ $P = \frac{C+D}{2}$

Найдём вектор, соединяющий точки $M$ и $P$: $\vec{MP} = P - M = \frac{C+D}{2} - \frac{A+B}{2} = \frac{(C-B) + (D-A)}{2}$

Для параллелограмма $ABCD$ справедливо равенство векторов $\vec{AD} = \vec{BC}$, что в координатах означает $D-A = C-B$. Подставим это в выражение для вектора $\vec{MP}$: $\vec{MP} = \frac{(C-B) + (C-B)}{2} = \frac{2(C-B)}{2} = C-B = \vec{BC}$

Таким образом, мы установили важное свойство: отрезок, соединяющий середины сторон $AB$ и $CD$, параллелен и равен стороне $BC$. Это свойство лежит в основе построения.

Построение

1. Соединяем точки $M$ и $P$ отрезком. Этот отрезок, как мы выяснили, параллелен и равен стороне $BC$ искомого параллелограмма.
2. Поскольку точка $N$ является серединой стороны $BC$, то для нахождения вершин $B$ и $C$ достаточно отложить от точки $N$ в противоположные стороны векторы, равные половине вектора $\vec{MP}$.
3. Для нахождения вершины $C$ откладываем от точки $N$ вектор $\vec{NC}$, равный $\frac{1}{2}\vec{MP}$. Точка $C$ будет концом этого вектора.
4. Для нахождения вершины $B$ откладываем от точки $N$ вектор $\vec{NB}$, равный $\frac{1}{2}\vec{PM}$ (то есть $-\frac{1}{2}\vec{MP}$). Точка $B$ будет концом этого вектора.
5. Теперь, когда вершины $B$ и $C$ найдены, найдём оставшиеся вершины $A$ и $D$.
6. Точка $M$ — середина стороны $AB$. Следовательно, вершина $A$ симметрична вершине $B$ относительно точки $M$. Для построения $A$ нужно отложить от точки $M$ вектор $\vec{MA} = \vec{BM}$.
7. Точка $P$ — середина стороны $CD$. Следовательно, вершина $D$ симметрична вершине $C$ относительно точки $P$. Для построения $D$ нужно отложить от точки $P$ вектор $\vec{PD} = \vec{CP}$.
8. Соединив последовательно точки $A, B, C, D$, получаем искомый параллелограмм.

Примечание

Вышеприведенное построение основано на предположении, что $N$ является серединой стороны, смежной со сторонами, середины которых — $M$ и $P$. Так как исходные данные (точки $M, N, P$) равноправны, любая из них может быть серединой "центральной" стороны. Таким образом, задача имеет три возможных решения, которые строятся аналогичным образом:

• Если "центральной" точкой является $M$, то сторона параллелограмма будет равна и параллельна вектору $\vec{NP}$.
• Если "центральной" точкой является $P$, то сторона параллелограмма будет равна и параллельна вектору $\vec{MN}$.

Ответ: Построение параллелограмма выполняется согласно алгоритму, описанному выше. Задача имеет три возможных решения в зависимости от того, какая из трёх заданных точек принимается за середину стороны, смежной с двумя другими сторонами, середины которых также заданы.

Условие 2015-2022.

209. Постройте параллелограмм по серединам трёх его сторон.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).