Номер 212, страница 42 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 7. Средняя линия треугольника. Глава 1. Четырёхугольники - номер 212, страница 42.

Условие 2023.

212. К окружности с центром $O$ через точку $C$ проведены касательные $CA$ и $CB$ ($A$ и $B$ – точки касания). Отрезок $AD$ – диаметр окружности. Докажите, что $BD \parallel CO$.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Доказательство:

1. Соединим центр окружности $O$ с точками касания $A$ и $B$, а также точку $C$ с центром $O$. Рассмотрим треугольники $\triangle OAC$ и $\triangle OBC$.

• $OA = OB$ (как радиусы одной окружности).
• $CA = CB$ (как отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности).
• $OC$ — общая сторона.

Следовательно, $\triangle OAC \cong \triangle OBC$ по трем сторонам (третий признак равенства треугольников).

2. Из равенства треугольников следует, что $\angle AOC = \angle BOC$. Это означает, что $CO$ является биссектрисой угла $\angle AOB$.

3. Рассмотрим треугольник $\triangle AOB$. Он является равнобедренным, так как $OA = OB$. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является также высотой. Следовательно, отрезок $CO$ перпендикулярен хорде $AB$, то есть $CO \perp AB$.

4. Рассмотрим треугольник $\triangle ABD$. Угол $\angle ABD$ является вписанным в окружность и опирается на диаметр $AD$. По свойству угла, вписанного в окружность, угол, опирающийся на диаметр, равен $90^\circ$. Таким образом, $\angle ABD = 90^\circ$. Это означает, что прямая $BD$ перпендикулярна прямой $AB$, то есть $BD \perp AB$.

5. Мы получили, что прямые $CO$ и $BD$ перпендикулярны одной и той же прямой $AB$. По теореме о двух прямых, перпендикулярных третьей, эти две прямые параллельны друг другу.

Таким образом, $BD \parallel CO$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

Условие 2015-2022.

212. К окружности с центром $O$ через точку $C$ проведены касательные $CA$ и $CB$ ($A$ и $B$ – точки касания). Отрезок $AD$ – диаметр окружности. Докажите, что $BD \parallel CO$.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).