Номер 205, страница 42 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 7. Средняя линия треугольника. Глава 1. Четырёхугольники - номер 205, страница 42.

Условие 2023.

205. Докажите, что вершины треугольника равноудалены от прямой, на которой лежит его средняя линия.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть дан треугольник $ABC$. Выберем произвольную среднюю линию, например, ту, что соединяет середины сторон $AB$ и $BC$. Обозначим эти середины как $M$ и $N$ соответственно. Таким образом, $M$ — середина $AB$ ($AM = MB$), а $N$ — середина $BC$ ($BN = NC$). Прямая, на которой лежит средняя линия $MN$, обозначим как $l$. Требуется доказать, что вершины $A$, $B$ и $C$ находятся на одинаковом расстоянии от прямой $l$.

Расстояние от точки до прямой измеряется длиной перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. Обозначим искомые расстояния как $d(A, l)$, $d(B, l)$ и $d(C, l)$.

1. Сравнение расстояний от вершин, не принадлежащих одной стороне со средней линией

По свойству средней линии треугольника, она параллельна третьей стороне. В нашем случае, средняя линия $MN$ параллельна стороне $AC$, то есть $MN \parallel AC$. Следовательно, прямая $l$, содержащая $MN$, параллельна прямой $AC$. Так как вершины $A$ и $C$ лежат на прямой $AC$, расстояние от них до параллельной прямой $l$ будет одинаковым. Таким образом, мы можем заключить, что $d(A, l) = d(C, l)$.

2. Сравнение расстояний от вершин, являющихся концами одной стороны

Теперь сравним расстояния от вершин $A$ и $B$ до прямой $l$. Точка $M$, середина отрезка $AB$, лежит на прямой $l$. Опустим из точек $A$ и $B$ перпендикуляры $AH_A$ и $BH_B$ на прямую $l$. Длины этих перпендикуляров и есть искомые расстояния $d(A, l)$ и $d(B, l)$. Рассмотрим образовавшиеся прямоугольные треугольники $\triangle AMH_A$ и $\triangle BMH_B$. В этих треугольниках:гипотенуза $AM$ равна гипотенузе $BM$, так как $M$ — середина стороны $AB$;острый угол $\angle AMH_A$ равен острому углу $\angle BMH_B$, так как они являются вертикальными углами при пересечении прямых $AB$ и $l$.Следовательно, прямоугольные треугольники $\triangle AMH_A$ и $\triangle BMH_B$ равны по гипотенузе и острому углу. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих катетов: $AH_A = BH_B$. Значит, $d(A, l) = d(B, l)$.

3. Заключение

Из первого шага мы знаем, что $d(A, l) = d(C, l)$. Из второго шага мы знаем, что $d(A, l) = d(B, l)$. Объединяя эти два равенства, получаем:$d(A, l) = d(B, l) = d(C, l)$.Это означает, что все три вершины треугольника равноудалены от прямой, на которой лежит его средняя линия. Поскольку выбор средней линии был произвольным, утверждение справедливо для любой из трех средних линий треугольника.

Ответ: Утверждение доказано. Для любой средней линии треугольника, например, $MN$, соединяющей середины сторон $AB$ и $BC$, прямая $l$, на которой она лежит, параллельна третьей стороне $AC$. Поэтому вершины $A$ и $C$ равноудалены от прямой $l$. Вершины $A$ и $B$ также равноудалены от прямой $l$, так как перпендикуляры, опущенные из них на прямую $l$, являются равными катетами в конгруэнтных прямоугольных треугольниках (равенство по гипотенузе $AM=BM$ и острому вертикальному углу при точке $M$). Следовательно, все три вершины $A$, $B$ и $C$ равноудалены от прямой $l$.

Условие 2015-2022.

205. Докажите, что вершины треугольника равноудалены от прямой, на которой лежит его средняя линия.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).