Номер 198, страница 41 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 7. Средняя линия треугольника. Глава 1. Четырёхугольники - номер 198, страница 41.

Условие 2023.

198. Докажите, что средняя линия $DE$ треугольника $ABC$ (точки $D$ и $E$ принадлежат сторонам $AB$ и $BC$ соответственно) и его медиана $BM$ точкой пересечения делятся пополам.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Дано:
В треугольнике $ABC$ отрезок $DE$ является средней линией (точка $D$ — середина стороны $AB$, точка $E$ — середина стороны $BC$). $BM$ — медиана, проведенная к стороне $AC$ (точка $M$ — середина $AC$). Средняя линия $DE$ и медиана $BM$ пересекаются в точке $O$.

Доказать:
Точка $O$ делит отрезки $DE$ и $BM$ пополам, то есть $DO = OE$ и $BO = OM$.

Доказательство:
Рассмотрим четырехугольник $DMEB$.
По условию, $D$ — середина $AB$, $E$ — середина $BC$, $M$ — середина $AC$.
Рассмотрим отрезок $ME$. Так как точки $M$ и $E$ являются серединами сторон $AC$ и $BC$ соответственно, то $ME$ — средняя линия треугольника $ABC$.
По свойству средней линии, отрезок $ME$ параллелен стороне $AB$ и равен ее половине: $ME \parallel AB$ и $ME = \frac{1}{2} AB$.
Так как $D$ — середина $AB$, то длина отрезка $DB$ также равна половине длины стороны $AB$: $DB = \frac{1}{2} AB$. Отрезок $DB$ лежит на прямой $AB$, поэтому $ME \parallel DB$.
Таким образом, в четырехугольнике $DMEB$ противолежащие стороны $ME$ и $DB$ равны ($ME = DB = \frac{1}{2} AB$) и параллельны ($ME \parallel DB$).
По признаку параллелограмма, если в четырехугольнике две противолежащие стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник является параллелограммом. Следовательно, $DMEB$ — параллелограмм.
Отрезки $DE$ и $BM$ являются диагоналями этого параллелограмма. По свойству диагоналей параллелограмма, они точкой пересечения делятся пополам.
Точка $O$ является точкой пересечения диагоналей $DE$ и $BM$. Следовательно, точка $O$ — середина как диагонали $DE$, так и диагонали $BM$.
Это означает, что $DO = OE$ и $BO = OM$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

Условие 2015-2022.

198. Докажите, что средняя линия $DE$ треугольника $ABC$ (точки $D$ и $E$ принадлежат сторонам $AB$ и $BC$ соответственно) и его медиана $BM$ точкой пересечения делятся пополам.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).