Номер 194, страница 41 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 7. Средняя линия треугольника. Глава 1. Четырёхугольники - номер 194, страница 41.

Условие 2023.

194. Докажите, что периметр треугольника, стороны которого являются средними линиями треугольника ABC, равен половине периметра треугольника ABC.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть дан произвольный треугольник $ABC$. Обозначим длины его сторон как $AB$, $BC$ и $AC$. Периметр треугольника $ABC$, который мы обозначим как $P_{ABC}$, равен сумме длин всех его сторон:

$P_{ABC} = AB + BC + AC$

Пусть точки $M$, $N$ и $K$ являются серединами сторон $AB$, $BC$ и $AC$ соответственно. Тогда отрезки $MN$, $NK$ и $MK$ являются средними линиями треугольника $ABC$. Эти средние линии образуют новый треугольник $MNK$.

Согласно свойству средней линии треугольника, она параллельна третьей стороне и равна её половине. Применим это свойство для каждой из средних линий:

• Средняя линия $MN$ соединяет середины сторон $AB$ и $BC$, следовательно, ее длина равна половине длины стороны $AC$: $MN = \frac{1}{2}AC$.
• Средняя линия $NK$ соединяет середины сторон $BC$ и $AC$, следовательно, ее длина равна половине длины стороны $AB$: $NK = \frac{1}{2}AB$.
• Средняя линия $MK$ соединяет середины сторон $AC$ и $AB$, следовательно, ее длина равна половине длины стороны $BC$: $MK = \frac{1}{2}BC$.

Периметр треугольника $MNK$, обозначим его $P_{MNK}$, равен сумме длин его сторон:

$P_{MNK} = MN + NK + MK$

Подставим в эту формулу выражения для длин средних линий:

$P_{MNK} = \frac{1}{2}AC + \frac{1}{2}AB + \frac{1}{2}BC$

Вынесем общий множитель $\frac{1}{2}$ за скобки:

$P_{MNK} = \frac{1}{2}(AC + AB + BC)$

Заметим, что выражение в скобках является периметром исходного треугольника $ABC$. Таким образом, получаем:

$P_{MNK} = \frac{1}{2}P_{ABC}$

Мы доказали, что периметр треугольника, образованного средними линиями, равен половине периметра исходного треугольника.

Ответ: что и требовалось доказать.

Условие 2015-2022.

194. Докажите, что периметр треугольника, стороны которого являются средними линиями треугольника $ABC$, равен половине периметра треугольника $ABC$.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).