Номер 3, страница 41 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Вопросы. Параграф 7. Средняя линия треугольника. Глава 1. Четырёхугольники - номер 3, страница 41.

Условие 2023.

3. Какими свойствами обладает средняя линия треугольника?

Решение 6 (2023).

Средняя линия треугольника — это отрезок, который соединяет середины двух его сторон. У любого треугольника есть три средние линии.

Рассмотрим произвольный треугольник $ABC$. Пусть точка $M$ — середина стороны $AB$, а точка $N$ — середина стороны $BC$. Тогда отрезок $MN$ является средней линией треугольника $ABC$.

Средняя линия треугольника обладает несколькими важными свойствами.

Свойство 1: Параллельность третьей стороне

Средняя линия треугольника параллельна его третьей стороне, которую она не пересекает.
Доказательство: Рассмотрим треугольники $ABC$ и $MBN$. Угол $\angle B$ у них является общим. По определению средней линии, $M$ и $N$ — это середины сторон $AB$ и $BC$ соответственно. Это означает, что $BM = \frac{1}{2}AB$ и $BN = \frac{1}{2}BC$. Таким образом, мы видим, что стороны двух треугольников пропорциональны: $\frac{BM}{AB} = \frac{BN}{BC} = \frac{1}{2}$. Следовательно, по второму признаку подобия (по двум пропорциональным сторонам и углу между ними), треугольник $\triangle MBN$ подобен треугольнику $\triangle ABC$. Из подобия треугольников следует равенство соответственных углов: $\angle BMN = \angle BAC$. Данные углы являются соответственными при пересечении прямых $MN$ и $AC$ секущей $AB$. Поскольку эти углы равны, прямые $MN$ и $AC$ параллельны ($MN \parallel AC$).
Ответ: Средняя линия треугольника параллельна его третьей стороне.

Свойство 2: Длина средней линии

Длина средней линии треугольника равна половине длины его третьей стороны.
Доказательство: Как было установлено в предыдущем пункте, $\triangle MBN \sim \triangle ABC$. Коэффициент подобия $k$ равен отношению длин соответственных сторон: $k = \frac{BM}{AB} = \frac{1}{2}$. Отношение длин сторон $MN$ и $AC$ также равно коэффициенту подобия: $\frac{MN}{AC} = k = \frac{1}{2}$. Из этого соотношения следует, что $MN = \frac{1}{2}AC$.
Ответ: Длина средней линии треугольника равна половине длины третьей стороны, которой она параллельна.

Свойство 3: Площадь отсекаемого треугольника

Средняя линия отсекает от исходного треугольника малый треугольник, площадь которого равна одной четвертой площади исходного треугольника.
Доказательство: Отношение площадей подобных фигур равно квадрату их коэффициента подобия. Мы уже знаем, что $\triangle MBN \sim \triangle ABC$ с коэффициентом подобия $k = \frac{1}{2}$. Следовательно, отношение их площадей будет: $\frac{S_{\triangle MBN}}{S_{\triangle ABC}} = k^2 = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$. Это означает, что площадь треугольника $MBN$ составляет четверть от площади треугольника $ABC$.
Ответ: Средняя линия отсекает от треугольника меньший треугольник, площадь которого равна $\frac{1}{4}$ площади исходного треугольника.

Свойство 4: Разделение треугольника

Три средние линии, проведенные в треугольнике, разделяют его на четыре равных (конгруэнтных) треугольника.
Доказательство: Пусть в треугольнике $ABC$ точки $M, N, P$ являются серединами сторон $AB, BC, AC$ соответственно. Проведем три средние линии $MN, NP, PM$. Исходя из предыдущих свойств, мы знаем, что: $MN = \frac{1}{2}AC = AP = PC$
$NP = \frac{1}{2}AB = AM = MB$
$PM = \frac{1}{2}BC = BN = NC$
Рассмотрим четыре образовавшихся треугольника: $\triangle AMP, \triangle MBN, \triangle PNC$ и центральный $\triangle MNP$. Сравнивая их стороны, мы видим, что у всех четырех треугольников соответственные стороны равны. Например, для $\triangle AMP$ и $\triangle MNP$ имеем: $AM = NP$, $AP = MN$, а сторона $MP$ у них общая. По признаку равенства треугольников по трем сторонам (SSS), $\triangle AMP \cong \triangle MNP$. Аналогично доказывается, что и $\triangle MBN \cong \triangle MNP$, и $\triangle PNC \cong \triangle MNP$. Таким образом, все четыре малых треугольника равны между собой.
Ответ: Три средние линии делят исходный треугольник на четыре равных (конгруэнтных) треугольника.

Условие 2015-2022.

3. Какими свойствами обладает средняя линия треугольника?