Номер 184, страница 39 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 6. Квадрат. Глава 1. Четырёхугольники - номер 184, страница 39.

Условие 2023.

184. В квадрате $ABCD$ отмечена точка $O$ так, что $\angle OAD = \angle ODA = 15^\circ$.

Докажите, что треугольник $BOC$ – равносторонний.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Рассмотрим треугольник $OAD$. По условию задачи углы при его основании $AD$ равны: $\angle OAD = \angle ODA = 15^\circ$. Следовательно, треугольник $OAD$ является равнобедренным, и его боковые стороны равны: $OA = OD$. Сумма углов в треугольнике составляет $180^\circ$, поэтому угол $\angle AOD$ можно вычислить так: $\angle AOD = 180^\circ - (15^\circ + 15^\circ) = 150^\circ$.

Поскольку $ABCD$ — это квадрат, все его стороны равны ($AB = BC = CD = DA$) и все углы прямые ($\angle DAB = \angle ABC = \angle BCD = \angle CDA = 90^\circ$).

Теперь рассмотрим треугольники $OAB$ и $ODC$. У них:

• $AB = DC$ (как стороны квадрата).
• $OA = OD$ (как было доказано ранее).
• $\angle OAB = \angle DAB - \angle OAD = 90^\circ - 15^\circ = 75^\circ$.
• $\angle ODC = \angle ADC - \angle ODA = 90^\circ - 15^\circ = 75^\circ$.

Таким образом, $\triangle OAB \cong \triangle ODC$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). Из равенства этих треугольников следует равенство их соответствующих сторон: $OB = OC$. Это означает, что треугольник $BOC$ является равнобедренным.

Чтобы доказать, что $\triangle BOC$ является равносторонним, необходимо показать, что его стороны равны стороне квадрата $BC$. Для этого найдем длину стороны $OB$, используя тригонометрические соотношения. Пусть длина стороны квадрата равна $a$, то есть $AD = AB = BC = a$.

В треугольнике $OAD$ применим теорему синусов:
$\frac{OA}{\sin(\angle ODA)} = \frac{AD}{\sin(\angle AOD)}$
Подставим известные значения:
$\frac{OA}{\sin(15^\circ)} = \frac{a}{\sin(150^\circ)}$
Так как $\sin(150^\circ) = \sin(180^\circ - 30^\circ) = \sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$, то:
$OA = \frac{a \cdot \sin(15^\circ)}{\sin(150^\circ)} = \frac{a \cdot \sin(15^\circ)}{1/2} = 2a \sin(15^\circ)$.

Теперь применим теорему косинусов к треугольнику $OAB$ для нахождения квадрата стороны $OB$:
$OB^2 = OA^2 + AB^2 - 2 \cdot OA \cdot AB \cdot \cos(\angle OAB)$
Подставим известные нам величины $OA = 2a \sin(15^\circ)$, $AB = a$ и $\angle OAB = 75^\circ$:
$OB^2 = (2a \sin(15^\circ))^2 + a^2 - 2 \cdot (2a \sin(15^\circ)) \cdot a \cdot \cos(75^\circ)$
$OB^2 = 4a^2 \sin^2(15^\circ) + a^2 - 4a^2 \sin(15^\circ) \cos(75^\circ)$
Воспользуемся формулой приведения $\cos(75^\circ) = \cos(90^\circ - 15^\circ) = \sin(15^\circ)$:
$OB^2 = 4a^2 \sin^2(15^\circ) + a^2 - 4a^2 \sin(15^\circ) \sin(15^\circ)$
$OB^2 = 4a^2 \sin^2(15^\circ) + a^2 - 4a^2 \sin^2(15^\circ)$
$OB^2 = a^2$
Следовательно, $OB = a$.

Мы установили, что $OB = a$. Ранее мы доказали, что $OB = OC$, а также мы знаем, что сторона квадрата $BC = a$. Таким образом, получаем, что все стороны треугольника $BOC$ равны: $OB = OC = BC = a$.

Поскольку все три стороны треугольника $BOC$ равны, он является равносторонним. Что и требовалось доказать.

Ответ: Треугольник $BOC$ является равносторонним.

Условие 2015-2022.

184. В квадрате ABCD отмечена точка O так, что $\angle OAD = \angle ODA = 15^\circ$.

Докажите, что треугольник BOC – равносторонний.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).