Номер 180, страница 38 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 6. Квадрат. Глава 1. Четырёхугольники - номер 180, страница 38.

Условие 2023.

180. Вершины $M$ и $K$ равностороннего треугольника $AMK$ принадлежат сторонам $BC$ и $CD$ квадрата $ABCD$. Докажите, что $MK \parallel BD$.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Рассмотрим два прямоугольных треугольника: $\triangle ABM$ (с прямым углом при вершине B) и $\triangle ADK$ (с прямым углом при вершине D).

По условию, $ABCD$ — это квадрат, следовательно, его стороны равны: $AB = AD$.Также, по условию, треугольник $AMK$ — равносторонний, следовательно, его стороны также равны: $AM = AK$.

Таким образом, прямоугольные треугольники $\triangle ABM$ и $\triangle ADK$ равны по гипотенузе и катету.

Из равенства этих треугольников следует равенство их других катетов: $BM = DK$.

Теперь рассмотрим треугольник $\triangle MCK$. Он является прямоугольным, так как $\angle C = 90^\circ$ (угол квадрата). Точка $M$ лежит на стороне $BC$, а точка $K$ — на стороне $CD$. Выразим длины катетов $CM$ и $CK$. Пусть длина стороны квадрата равна $a$.
$CM = BC - BM = a - BM$
$CK = CD - DK = a - DK$

Поскольку мы доказали, что $BM = DK$, то из этого следует, что $CM = CK$.

Так как в прямоугольном треугольнике $\triangle MCK$ катеты равны ($CM=CK$), он является равнобедренным. В равнобедренном прямоугольном треугольнике углы при основании равны, и каждый из них составляет $(180^\circ - 90^\circ) / 2 = 45^\circ$. Следовательно, $\angle CKM = 45^\circ$.

Рассмотрим диагональ $BD$ квадрата $ABCD$. В треугольнике $\triangle BCD$ стороны $BC$ и $CD$ равны, и $\angle C = 90^\circ$. Значит, $\triangle BCD$ — равнобедренный прямоугольный треугольник. Углы при его основании $BD$ равны $45^\circ$. В частности, $\angle CDB = 45^\circ$.

Теперь у нас есть две прямые $MK$ и $BD$ и секущая $CD$. Углы $\angle CKM$ и $\angle CDB$ являются соответственными при этих прямых и секущей. Мы установили, что $\angle CKM = 45^\circ$ и $\angle CDB = 45^\circ$. Так как эти соответственные углы равны, то по признаку параллельности прямых, прямые $MK$ и $BD$ параллельны.

Таким образом, доказано, что $MK \parallel BD$.

Ответ: Утверждение доказано.

Условие 2015-2022.

180. Вершины $M$ и $K$ равностороннего треугольника $AMK$ принадлежат сторонам $BC$ и $CD$ квадрата $ABCD$. Докажите, что $MK \parallel BD$.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).