Номер 182, страница 38 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 6. Квадрат. Глава 1. Четырёхугольники - номер 182, страница 38.

Условие 2023.

182. Через произвольную точку, принадлежащую квадрату, проведены две перпендикулярные прямые, каждая из которых пересекает две противолежащие стороны квадрата. Докажите, что отрезки этих прямых, принадлежащие квадрату, равны.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть дан квадрат со стороной $a$. Через произвольную точку внутри квадрата проведены две взаимно перпендикулярные прямые. По условию, одна из них пересекает пару противоположных сторон (например, верхнюю и нижнюю), а другая — другую пару (левую и правую).

Обозначим вершины квадрата $ABCD$. Пусть первая прямая пересекает стороны $AB$ и $CD$ в точках $M$ и $N$ соответственно. Отрезок этой прямой, заключенный внутри квадрата, — это $MN$. Пусть вторая прямая пересекает стороны $AD$ и $BC$ в точках $L$ и $K$ соответственно. Отрезок этой прямой, заключенный внутри квадрата, — это $LK$. По условию, прямые $MN$ и $LK$ перпендикулярны: $MN \perp LK$.

Наша задача — доказать, что $MN = LK$.

1. Рассмотрим отрезок $MN$. Проведем через точку $M$ прямую, перпендикулярную стороне $CD$. Пусть она пересекает $CD$ в точке $H$. Так как стороны $AB$ и $CD$ параллельны, отрезок $MH$ является расстоянием между ними, и его длина равна стороне квадрата: $MH = a$. Треугольник $MHN$ является прямоугольным, с прямым углом $\angle MHN = 90^\circ$.

Пусть прямая $MN$ образует со стороной $CD$ угол $\alpha$, то есть $\angle MNH = \alpha$. В прямоугольном треугольнике $MHN$ гипотенуза $MN$ и катет $MH$ связаны соотношением:

$\sin(\alpha) = \frac{MH}{MN} = \frac{a}{MN}$

Из этого выражения мы можем найти длину отрезка $MN$:

$MN = \frac{a}{\sin(\alpha)}$

2. Теперь рассмотрим отрезок $LK$. Проведем через точку $L$ прямую, перпендикулярную стороне $BC$. Пусть она пересекает $BC$ в точке $G$. Так как стороны $AD$ и $BC$ параллельны, отрезок $LG$ является расстоянием между ними, и его длина также равна стороне квадрата: $LG = a$. Треугольник $LGK$ является прямоугольным, с прямым углом $\angle LGK = 90^\circ$.

Пусть прямая $LK$ образует со стороной $BC$ угол $\beta$, то есть $\angle LKG = \beta$. В прямоугольном треугольнике $LGK$ гипотенуза $LK$ и катет $LG$ связаны соотношением:

$\sin(\beta) = \frac{LG}{LK} = \frac{a}{LK}$

Отсюда длина отрезка $LK$:

$LK = \frac{a}{\sin(\beta)}$

3. Найдем связь между углами $\alpha$ и $\beta$. По условию задачи, прямая $MN$ перпендикулярна прямой $LK$. В квадрате смежные стороны перпендикулярны, следовательно, прямая, содержащая сторону $CD$, перпендикулярна прямой, содержащей сторону $BC$.

Воспользуемся геометрическим свойством: угол между двумя прямыми равен углу между их перпендикулярами.

В нашем случае:

• Прямая $LK$ перпендикулярна прямой $MN$.
• Прямая, содержащая сторону $BC$, перпендикулярна прямой, содержащей сторону $CD$.

Следовательно, угол между прямыми $LK$ и $BC$ ($\beta$) равен углу между прямыми $MN$ и $CD$ ($\alpha$). То есть, $\alpha = \beta$.

4. Теперь мы можем сравнить длины отрезков. Подставив $\beta = \alpha$ в формулу для $LK$, получим:

$LK = \frac{a}{\sin(\alpha)}$

Так как мы ранее получили, что $MN = \frac{a}{\sin(\alpha)}$, то отсюда следует равенство:

$MN = LK$

Таким образом, мы доказали, что отрезки данных перпендикулярных прямых, принадлежащие квадрату, равны.

Ответ: Отрезки этих прямых, принадлежащие квадрату, равны.

Условие 2015-2022.

182. Через произвольную точку, принадлежащую квадрату, проведены две перпендикулярные прямые, каждая из которых пересекает две противолежащие стороны квадрата. Докажите, что отрезки этих прямых, принадлежащие квадрату, равны.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).