Номер 183, страница 39 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 6. Квадрат. Глава 1. Четырёхугольники - номер 183, страница 39.

Условие 2023.

183. Постройте квадрат:

1) по сумме диагонали и стороны;

2) по разности диагонали и стороны.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

1) по сумме диагонали и стороны;

Пусть $a$ — сторона искомого квадрата, а $d$ — его диагональ. Нам дан отрезок $S$, равный сумме стороны и диагонали: $S = d + a$. В любом квадрате диагональ связана со стороной соотношением $d = a\sqrt{2}$. Подставив это в формулу для $S$, получим: $S = a\sqrt{2} + a = a(\sqrt{2} + 1)$. Задача сводится к построению отрезка $a$ по известному отрезку $S$.

Анализ:
Рассмотрим искомый квадрат $ABCD$ со стороной $a$ и диагональю $AC=d$. На продолжении диагонали $CA$ за точку $A$ отложим отрезок $AM$, равный стороне квадрата $a$. Тогда длина отрезка $MC$ будет равна $MA + AC = a + d = S$. Теперь рассмотрим треугольник $MBC$. Его сторона $MC$ равна данному отрезку $S$. Сторона $BC$ равна стороне квадрата $a$. Угол $\angle MCB$ совпадает с углом $\angle ACB$ квадрата, который равен $45^\circ$. Рассмотрим треугольник $MAB$. Он является равнобедренным, так как $MA = AB = a$. Угол $\angle MAB$ — внешний к углу $\angle CAB$ треугольника $ABC$. Так как $\angle CAB = 45^\circ$, то $\angle MAB = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ$. Углы при основании $MB$ в равнобедренном треугольнике $MAB$ равны: $\angle AMB = \angle ABM = (180^\circ - 135^\circ) / 2 = 22.5^\circ$. Таким образом, мы можем построить треугольник $MBC$ по стороне $MC=S$ и двум прилежащим к ней углам: $\angle CMB = 22.5^\circ$ и $\angle MCB = 45^\circ$. Сторона $BC$ этого треугольника и будет искомой стороной квадрата.

Построение:
1. На прямой откладываем отрезок $MC$, равный данной сумме $S$.
2. От луча $CM$ в одной полуплоскости строим угол $\angle MCK = 45^\circ$. Это делается путем построения прямого угла и его последующего деления пополам.
3. От луча $MC$ в той же полуплоскости строим угол $\angle CML = 22.5^\circ$. Для этого построенный угол $45^\circ$ делим еще раз пополам.
4. Точка $B$, в которой пересекаются лучи $CK$ и $ML$, является третьей вершиной треугольника $MBC$ и одной из вершин искомого квадрата.
5. Отрезок $BC$ является стороной искомого квадрата.
6. Для завершения построения квадрата $ABCD$, строим перпендикуляры к стороне $BC$ в точках $B$ и $C$, и откладываем на них отрезки $BA = BC$ и $CD = BC$ соответственно. Затем соединяем точки $A$ и $D$.

Доказательство:
В построенном треугольнике $MBC$, по построению, $\angle CMB = 22.5^\circ$ и $\angle MCB = 45^\circ$. Следовательно, третий угол $\angle MBC = 180^\circ - (22.5^\circ + 45^\circ) = 112.5^\circ$. Пусть сторона построенного квадрата $BC = a'$, тогда его диагональ $d' = a'\sqrt{2}$. Докажем, что $a' + d' = S$. Опустим из вершины $B$ перпендикуляр $BH$ на прямую $MC$. В прямоугольном треугольнике $BHC$: $\angle BCH = 45^\circ$, поэтому $BH = HC = BC \sin(45^\circ) = a'/\sqrt{2}$. В прямоугольном треугольнике $BHM$: $MH = BH / \tan(22.5^\circ)$. Используя формулу $\tan(x/2) = \frac{1-\cos x}{\sin x}$, находим $\tan(22.5^\circ) = \frac{1-\cos 45^\circ}{\sin 45^\circ} = \frac{1-\sqrt{2}/2}{\sqrt{2}/2} = \sqrt{2}-1$. Тогда $MH = \frac{a'/\sqrt{2}}{\sqrt{2}-1} = \frac{a'(\sqrt{2}+1)}{\sqrt{2}} = a'(1 + 1/\sqrt{2})$. Длина всего отрезка $MC = MH + HC = a'(1 + 1/\sqrt{2}) + a'/\sqrt{2} = a' + a'/\sqrt{2} + a'/\sqrt{2} = a' + a'\sqrt{2} = a' + d'$. Поскольку мы строили $MC$ равным $S$, то $S = a' + d'$, что и требовалось доказать. Построенный квадрат является искомым.

Ответ: Квадрат построен.

2) по разности диагонали и стороны.

Пусть $a$ — сторона искомого квадрата, а $d$ — его диагональ. Нам дан отрезок $R$, равный разности диагонали и стороны: $R = d - a$. Так как $d = a\sqrt{2}$, то $R = a\sqrt{2} - a = a(\sqrt{2} - 1)$. Задача сводится к построению отрезка $a$ по известному отрезку $R$.

Анализ:
Рассмотрим искомый квадрат $ABCD$ со стороной $a$ и диагональю $AC=d$. На диагонали $AC$ отложим отрезок $CK$, равный стороне квадрата $a$. Тогда оставшаяся часть диагонали $AK = AC - CK = d - a = R$. Рассмотрим треугольник $ABK$. Сторона $AK$ равна данному отрезку $R$. Сторона $AB$ равна стороне квадрата $a$. Угол $\angle KAB$ совпадает с углом $\angle CAB$, который равен $45^\circ$. Теперь рассмотрим треугольник $BKC$. Он равнобедренный, так как по построению $BC = a$ и $CK = a$. Угол при вершине $\angle BCK$ также равен $45^\circ$. Тогда углы при основании $BK$ равны: $\angle CBK = \angle CKB = (180^\circ - 45^\circ) / 2 = 67.5^\circ$. Угол $\angle AKB$ смежен с углом $\angle CKB$, поэтому $\angle AKB = 180^\circ - 67.5^\circ = 112.5^\circ$. Таким образом, мы можем построить треугольник $ABK$ по стороне $AK=R$ и двум прилежащим к ней углам: $\angle KAB = 45^\circ$ и $\angle AKB = 112.5^\circ$. Сторона $AB$ этого треугольника и будет искомой стороной квадрата.

Построение:
1. На прямой откладываем отрезок $AK$, равный данной разности $R$.
2. От луча $AK$ в одной полуплоскости строим угол $\angle KAS = 45^\circ$.
3. От луча $KA$ в той же полуплоскости строим угол $\angle AKL = 112.5^\circ$. Этот угол строится как сумма прямого угла ($90^\circ$) и угла $22.5^\circ$ (половина от $45^\circ$).
4. Точка $B$, в которой пересекаются лучи $AS$ и $KL$, является одной из вершин искомого квадрата.
5. Отрезок $AB$ является стороной искомого квадрата.
6. Достраиваем квадрат $ABCD$ по стороне $AB$ стандартным способом.

Доказательство:
В построенном треугольнике $ABK$ по построению $\angle KAB = 45^\circ$ и $\angle AKB = 112.5^\circ$. Тогда третий угол $\angle ABK = 180^\circ - (45^\circ + 112.5^\circ) = 22.5^\circ$. Пусть сторона построенного квадрата $AB = a'$, а его диагональ $d'$. Поскольку $\angle CAB = 45^\circ$, вершина $C$ лежит на луче $AK$. Применим к треугольнику $ABK$ теорему синусов: $\frac{AB}{\sin(\angle AKB)} = \frac{AK}{\sin(\angle ABK)}$
$\frac{a'}{\sin(112.5^\circ)} = \frac{R}{\sin(22.5^\circ)}$
Выразим $R$: $R = a' \cdot \frac{\sin(22.5^\circ)}{\sin(112.5^\circ)}$. Так как $\sin(112.5^\circ) = \sin(180^\circ - 67.5^\circ) = \sin(67.5^\circ) = \cos(22.5^\circ)$, то: $R = a' \cdot \frac{\sin(22.5^\circ)}{\cos(22.5^\circ)} = a' \tan(22.5^\circ)$. Мы уже знаем, что $\tan(22.5^\circ) = \sqrt{2}-1$. Следовательно, $R = a'(\sqrt{2}-1) = a'\sqrt{2} - a' = d' - a'$. Разность диагонали и стороны построенного квадрата равна исходному отрезку $R$, что и требовалось доказать.

Ответ: Квадрат построен.

Условие 2015-2022.

183. Постройте квадрат:

1) по сумме диагонали и стороны;

2) по разности диагонали и стороны.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).