Номер 188, страница 39 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 6. Квадрат. Глава 1. Четырёхугольники - номер 188, страница 39.

Условие 2023.

188. Расположите на плоскости восемь точек так, чтобы на серединном перпендикуляре любого отрезка с концами в этих точках лежали ровно две из этих точек.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 6 (2023).

Искомые восемь точек можно расположить в виде вершин двух квадратов с общим центром в начале координат. Такая конфигурация обладает высокой симметрией, что позволяет упростить проверку условия задачи.

Пусть первый квадрат, назовем его $S_1$, имеет вершины $P_1, P_2, P_3, P_4$, расположенные на осях координат. Координаты этих точек: $P_1(a, 0)$, $P_2(0, a)$, $P_3(-a, 0)$, $P_4(0, -a)$ для некоторого $a > 0$.

Второй квадрат, $S_2$, имеет вершины $P_5, P_6, P_7, P_8$, диагонали которого лежат на осях координат (т.е. он повернут на 45° относительно первого). Координаты этих точек: $P_5(b, b)$, $P_6(-b, b)$, $P_7(-b, -b)$, $P_8(b, -b)$ для некоторого $b > 0$.

Проверим, что при определенном соотношении между $a$ и $b$ данная конфигурация удовлетворяет условию задачи. Условие состоит в том, что серединный перпендикуляр к любому отрезку, соединяющему две из восьми точек, должен содержать ровно две другие точки из этого множества. Всего существует $\binom{8}{2} = 28$ таких отрезков. Благодаря симметрии, нам достаточно проверить лишь несколько характерных случаев.

1. Отрезки, соединяющие вершины одного квадрата.

• Диагонали: Рассмотрим диагональ $P_1P_3$ квадрата $S_1$. Отрезок соединяет точки $P_1(a,0)$ и $P_3(-a,0)$. Его серединный перпендикуляр — это прямая $x=0$ (ось OY). На этой прямой лежат ровно две точки из нашего набора: $P_2(0,a)$ и $P_4(0,-a)$. Условие выполнено. В силу симметрии, то же самое верно для диагонали $P_2P_4$ (перпендикуляр $y=0$ содержит $P_1, P_3$) и для диагоналей квадрата $S_2$ (например, для $P_5P_7$ перпендикуляр $y=-x$ содержит $P_6, P_8$).
• Стороны: Рассмотрим сторону $P_1P_2$ квадрата $S_1$. Отрезок соединяет точки $P_1(a,0)$ и $P_2(0,a)$. Его серединный перпендикуляр — это прямая $y=x$. На этой прямой лежат ровно две точки: $P_5(b,b)$ и $P_7(-b,-b)$. Условие выполнено. В силу симметрии, то же самое верно для всех сторон обоих квадратов. Например, для стороны $P_5P_6$ квадрата $S_2$ серединным перпендикуляром является прямая $x=0$, на которой лежат точки $P_2$ и $P_4$.

2. Отрезки, соединяющие вершину одного квадрата с вершиной другого.

Этот случай требует установления определенного соотношения между $a$ и $b$. Рассмотрим отрезок $P_1P_5$, соединяющий точки $P_1(a,0)$ и $P_5(b,b)$. Точка $(x,y)$ лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку, если она равноудалена от его концов:

$(x-a)^2 + y^2 = (x-b)^2 + (y-b)^2$

$x^2 - 2ax + a^2 + y^2 = x^2 - 2bx + b^2 + y^2 - 2by + b^2$

$-2ax + a^2 = -2bx - 2by + 2b^2$

Уравнение серединного перпендикуляра: $2(b-a)x + 2by + a^2 - 2b^2 = 0$.

Теперь нужно найти такое соотношение $a$ и $b$, при котором ровно две точки из восьми удовлетворяют этому уравнению. Проверим точки $P_4(0,-a)$ и $P_8(b,-b)$:

Для $P_4(0,-a)$: $2(b-a) \cdot 0 + 2b(-a) + a^2 - 2b^2 = a^2 - 2ab - 2b^2$.

Для $P_8(b,-b)$: $2(b-a)b + 2b(-b) + a^2 - 2b^2 = 2b^2 - 2ab - 2b^2 + a^2 - 2b^2 = a^2 - 2ab - 2b^2$.

Оба выражения равны нулю, если $a^2 - 2ab - 2b^2 = 0$. Разделив на $b^2$ (так как $b \ne 0$), получим квадратное уравнение относительно отношения $t=a/b$:

$t^2 - 2t - 2 = 0$.

Поскольку $a$ и $b$ — положительные величины, нас интересует положительный корень этого уравнения: $t = \frac{2 + \sqrt{4 - 4(1)(-2)}}{2} = \frac{2 + \sqrt{12}}{2} = 1 + \sqrt{3}$.

Итак, если выбрать $a$ и $b$ так, что $a/b = 1+\sqrt{3}$, то серединный перпендикуляр к отрезку $P_1P_5$ будет содержать точки $P_4$ и $P_8$. Можно проверить, что при этом условии никакие другие из восьми точек не лежат на этой прямой. В силу симметрии, это свойство будет выполняться для всех 16 отрезков, соединяющих вершину одного квадрата с вершиной другого.

Таким образом, искомая конфигурация найдена. Она состоит из вершин двух квадратов, расположенных, как описано выше, с соотношением размеров $a/b = 1+\sqrt{3}$.

Ответ: Искомые восемь точек — это вершины двух квадратов с общим центром в начале координат. Координаты вершин первого квадрата: $(\pm a, 0)$, $(0, \pm a)$. Координаты вершин второго квадрата: $(\pm b, \pm b)$. Соотношение размеров квадратов должно быть $a/b = 1 + \sqrt{3}$. Например, можно взять $b=1$ и $a=1+\sqrt{3}$, тогда точки будут иметь координаты: $P_1(1+\sqrt{3}, 0)$, $P_2(0, 1+\sqrt{3})$, $P_3(-(1+\sqrt{3}), 0)$, $P_4(0, -(1+\sqrt{3}))$ и $P_5(1,1)$, $P_6(-1,1)$, $P_7(-1,-1)$, $P_8(1,-1)$.

Условие 2015-2022.

188. Расположите на плоскости восемь точек так, чтобы на серединном перпендикуляре любого отрезка с концами в этих точках лежали ровно две из этих точек.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).