Номер 185, страница 39 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 6. Квадрат. Глава 1. Четырёхугольники - номер 185, страница 39.

Условие 2023.

185. На сторонах $BC$ и $CD$ квадрата $ABCD$ отмечены точки $M$ и $E$ так, что углы $BAM$ и $MAE$ равны. Докажите, что $AE = BM + DE$.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Для доказательства выполним дополнительное построение. На продолжении стороны $CD$ за точку $D$ отложим отрезок $DK$, равный отрезку $BM$. Соединим точки $A$ и $K$.

Рассмотрим треугольники $\triangle ABM$ и $\triangle ADK$.В них:

• $AB = AD$ как стороны квадрата $ABCD$.
• $BM = DK$ по построению.
• $\angle ABM = 90^\circ$ как угол квадрата. $\angle ADK = 90^\circ$, так как сторона $AD$ перпендикулярна прямой $CD$, на которой лежит отрезок $DK$.

Следовательно, $\triangle ABM \cong \triangle ADK$ по двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства треугольников).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон и углов:$AM = AK$ и $\angle BAM = \angle DAK$.

По условию задачи дано, что $\angle BAM = \angle MAE$. Из этого и предыдущего равенства следует, что $\angle DAK = \angle MAE$.

Докажем, что треугольник $\triangle AKE$ является равнобедренным, а именно, что $AE = KE$. Для этого достаточно доказать равенство углов, противолежащих этим сторонам: $\angle AKE = \angle KAE$.

Вычислим величины этих углов. Обозначим $\angle BAM = \alpha$. Тогда из условия следует, что $\angle MAE = \alpha$.

Найдем угол $\angle KAE$:
$\angle KAE = \angle DAE + \angle DAK$.
Из равенства треугольников мы знаем, что $\angle DAK = \angle BAM = \alpha$.
Угол $\angle DAE$ является частью прямого угла $\angle DAB$:
$\angle DAE = \angle DAB - \angle BAE = 90^\circ - (\angle BAM + \angle MAE) = 90^\circ - (\alpha + \alpha) = 90^\circ - 2\alpha$.
Тогда $\angle KAE = (90^\circ - 2\alpha) + \alpha = 90^\circ - \alpha$.

Теперь найдем угол $\angle AKE$:
Этот угол является углом $\angle AKD$ в треугольнике $\triangle ADK$.
Из равенства $\triangle ABM \cong \triangle ADK$ следует, что $\angle AKD = \angle AMB$.
В прямоугольном треугольнике $\triangle ABM$ (угол $\angle B = 90^\circ$) сумма острых углов равна $90^\circ$, поэтому:
$\angle AMB = 90^\circ - \angle BAM = 90^\circ - \alpha$.
Таким образом, $\angle AKE = 90^\circ - \alpha$.

Поскольку мы получили, что $\angle KAE = \angle AKE = 90^\circ - \alpha$, треугольник $\triangle AKE$ является равнобедренным с боковыми сторонами $AE$ и $KE$, то есть $AE = KE$.

Так как точка $D$ по построению лежит между точками $K$ и $E$ на одной прямой, то длина отрезка $KE$ равна сумме длин отрезков $KD$ и $DE$: $KE = KD + DE$.
Заменяя в этом равенстве $KE$ на равный ему отрезок $AE$, и $KD$ на равный ему по построению отрезок $BM$, получаем искомое равенство:$AE = BM + DE$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $AE = BM + DE$ доказано.

Условие 2015-2022.

185. На сторонах $BC$ и $CD$ квадрата $ABCD$ отмечены точки $M$ и $E$ так, что углы $BAM$ и $MAE$ равны. Докажите, что $AE = BM + DE$.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).