Номер 181, страница 38 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 6. Квадрат. Глава 1. Четырёхугольники - номер 181, страница 38.

Условие 2023.

181. Даны точки $M$ и $K$. Постройте квадрат $ABCD$ так, чтобы точка $M$ была серединой стороны $AB$, а точка $K$ – серединой стороны $BC$.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Анализ

Пусть $ABCD$ — искомый квадрат, $M$ — середина стороны $AB$, а $K$ — середина стороны $BC$. По определению квадрата, все его стороны равны и все углы прямые, в частности $AB=BC$ и $\angle ABC = 90^\circ$.

Так как $M$ — середина $AB$, то $MB = \frac{1}{2}AB$.
Так как $K$ — середина $BC$, то $BK = \frac{1}{2}BC$.

Поскольку $AB=BC$, то и их половины равны, то есть $MB = BK$.
Это означает, что треугольник $MBK$ является равнобедренным. Кроме того, угол $\angle MBK$ является частью угла $\angle ABC$, и так как точки $A, M, B$ лежат на одной прямой, и точки $B, K, C$ лежат на одной прямой, то $\angle MBK = \angle ABC = 90^\circ$.

Следовательно, треугольник $MBK$ является равнобедренным прямоугольным треугольником, где $MK$ — гипотенуза, а $B$ — вершина прямого угла. Задача сводится к построению этого треугольника, а затем и всего квадрата.

Построение

Построение искомого квадрата можно выполнить в несколько шагов:

1. Нахождение вершины B.
a) Соединяем данные точки $M$ и $K$ отрезком.
b) Строим серединный перпендикуляр к отрезку $MK$. Для этого находим середину $O$ отрезка $MK$ и проводим через нее прямую $l$, перпендикулярную $MK$.
c) Строим окружность с центром в точке $O$ и радиусом, равным $OM$ (или $OK$).
d) Эта окружность пересечет прямую $l$ в двух точках. Каждая из этих точек может быть вершиной $B$. Выберем одну из них и обозначим ее $B$.

2. Нахождение вершин A и C.
a) Проводим прямую через точки $B$ и $M$. Так как $M$ — середина $AB$, откладываем на этой прямой от точки $M$ отрезок $MA = MB$ так, чтобы $M$ оказалась между $A$ и $B$. Получаем вершину $A$.
b) Проводим прямую через точки $B$ и $K$. Так как $K$ — середина $BC$, откладываем на этой прямой от точки $K$ отрезок $KC = KB$ так, чтобы $K$ оказалась между $B$ и $C$. Получаем вершину $C$.

3. Нахождение вершины D.
a) Через точку $A$ проводим прямую, параллельную $BC$.
b) Через точку $C$ проводим прямую, параллельную $AB$.
c) Точка пересечения этих двух прямых является искомой вершиной $D$.

Четырехугольник $ABCD$ — искомый квадрат.

Доказательство

Докажем, что построенный четырехугольник $ABCD$ удовлетворяет всем условиям задачи.
1. Рассмотрим $\triangle MBK$. По построению, точка $B$ лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $MK$, поэтому она равноудалена от его концов: $MB = KB$.
2. Точка $B$ также лежит на окружности с центром $O$ (середина $MK$) и радиусом $OM$. Это значит, что $OB = OM = OK = \frac{1}{2}MK$.
3. В треугольнике $MBO$ угол $\angle MOB = 90^\circ$ (так как $B$ лежит на перпендикуляре), и катеты $OM$ и $OB$ равны. Следовательно, $\triangle MBO$ — равнобедренный прямоугольный треугольник, а его острые углы равны $45^\circ$, то есть $\angle BMO = 45^\circ$.
4. Аналогично, $\triangle KBO$ является равнобедренным прямоугольным треугольником, и $\angle BKO = 45^\circ$.
5. В $\triangle MBK$ углы при основании $MK$ равны $\angle BMK = 45^\circ$ и $\angle BKM = 45^\circ$. Сумма углов треугольника равна $180^\circ$, поэтому $\angle MBK = 180^\circ - (45^\circ + 45^\circ) = 90^\circ$.
6. По построению вершин $A$ и $C$, точка $M$ является серединой $AB$, а точка $K$ — серединой $BC$.
7. Так как $MB = KB$, то $AB = 2 \cdot MB = 2 \cdot KB = BC$.
8. Угол $\angle ABC$ совпадает с углом $\angle MBK$, поэтому $\angle ABC = 90^\circ$.
9. Четырехугольник $ABCD$ был построен как параллелограмм. Параллелограмм, у которого смежные стороны равны ($AB=BC$) и есть прямой угол ($\angle ABC=90^\circ$), является квадратом.
Следовательно, построенная фигура $ABCD$ — квадрат, а точки $M$ и $K$ — середины его сторон $AB$ и $BC$ соответственно.

Ответ: Построение основано на нахождении вершины $B$ квадрата. Для этого строится равнобедренный прямоугольный треугольник $MBK$ с прямым углом в вершине $B$ на отрезке $MK$ как на гипотенузе. Вершина $B$ находится на пересечении серединного перпендикуляра к $MK$ и окружности с центром в середине $MK$ и радиусом, равным половине длины $MK$. После нахождения точки $B$ остальные вершины $A, C, D$ достраиваются, исходя из того, что $M$ и $K$ являются серединами сторон $AB$ и $BC$ соответственно.

Условие 2015-2022.

181. Даны точки $M$ и $K$. Постройте квадрат $ABCD$ так, чтобы точка $M$ была серединой стороны $AB$, а точка $K$ – серединой стороны $BC$.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).