Номер 174, страница 38 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 6. Квадрат. Глава 1. Четырёхугольники - номер 174, страница 38.

Условие 2023.

174. В треугольнике $ABC$ известно, что $\angle C = 90^\circ$, $AC = BC = 14$ см. Две стороны квадрата $CDEF$ лежат на катетах треугольника $ABC$, а вершина $E$ принадлежит гипотенузе $AB$. Найдите периметр квадрата $CDEF$.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Поскольку треугольник $ABC$ прямоугольный с $\angle C = 90^\circ$ и равнобедренный с катетами $AC = BC = 14$ см, его острые углы при гипотенузе равны:

$$ \angle A = \angle B = \frac{180^\circ - 90^\circ}{2} = 45^\circ $$

Пусть сторона вписанного квадрата $CDEF$ равна $x$. Тогда $CD = DE = EF = CF = x$. По условию, вершина $D$ лежит на катете $AC$, а вершина $F$ — на катете $BC$. Это означает, что отрезок $CD$ является частью катета $AC$. Длина отрезка $AD$ равна разности длин $AC$ и $CD$, то есть $AD = 14 - x$.

Рассмотрим треугольник $ADE$. Угол $\angle A$ у него общий с треугольником $ABC$, следовательно, $\angle DAE = 45^\circ$. Сторона квадрата $DE$ параллельна катету $BC$, так как обе они перпендикулярны катету $AC$ (сторона $DE \perp CD$ по свойству квадрата, а $CD$ лежит на $AC$; $BC \perp AC$ по условию). Вследствие параллельности прямых $DE$ и $BC$ и секущей $AB$, соответственные углы при секущей равны: $\angle AED = \angle ABC = 45^\circ$.

Таким образом, в треугольнике $ADE$ два угла равны по $45^\circ$ ($\angle DAE = \angle AED = 45^\circ$), что означает, что треугольник $ADE$ является равнобедренным. В равнобедренном треугольнике стороны, противолежащие равным углам, равны. Следовательно, $AD = DE$.

Подставив известные нам выражения для длин этих сторон, получаем уравнение:

$$ 14 - x = x $$

$$ 14 = 2x $$

$$ x = \frac{14}{2} = 7 \text{ см} $$

Итак, мы нашли, что сторона квадрата равна 7 см. Периметр квадрата $P$ вычисляется как учетверенная длина его стороны:

$$ P = 4x = 4 \cdot 7 = 28 \text{ см} $$

Ответ: 28 см.

Условие 2015-2022.

174. В треугольнике $ABC$ известно, что $\angle C = 90^\circ$, $AC = BC = 14$ см. Две стороны квадрата $CDEF$ лежат на катетах треугольника $ABC$, а вершина $E$ принадлежит гипотенузе $AB$. Найдите периметр квадрата $CDEF$.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).