Номер 172, страница 38 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 6. Квадрат. Глава 1. Четырёхугольники - номер 172, страница 38.

Условие 2023.

172. В прямоугольном треугольнике через точку пересечения биссектрисы прямого угла и гипотенузы проведены прямые, параллельные катетам. Докажите, что образовавшийся четырёхугольник является квадратом.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть дан прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом при вершине $C$, то есть $\angle C = 90^\circ$. Пусть $CL$ — биссектриса угла $C$, пересекающая гипотенузу $AB$ в точке $L$. По определению биссектрисы, она делит угол пополам, поэтому $\angle ACL = \angle BCL = \frac{90^\circ}{2} = 45^\circ$.

По условию задачи, через точку $L$ проведены две прямые: одна параллельна катету $AC$ и пересекает катет $BC$ в точке $M$ (то есть $LM \parallel AC$), а другая параллельна катету $BC$ и пересекает катет $AC$ в точке $N$ (то есть $LN \parallel BC$). Рассмотрим образовавшийся четырёхугольник $CNLM$.

Доказательство:

1. Сначала докажем, что четырёхугольник $CNLM$ является прямоугольником.По построению, сторона $LM$ параллельна стороне $AC$, а значит и отрезку $NC$. Аналогично, сторона $LN$ параллельна стороне $BC$, а значит и отрезку $MC$.Поскольку у четырёхугольника $CNLM$ противолежащие стороны попарно параллельны, он является параллелограммом.Угол $C$ в исходном треугольнике $ABC$ прямой ($\angle C = 90^\circ$), следовательно, угол $\angle NCM$ в параллелограмме $CNLM$ также равен $90^\circ$. Параллелограмм, у которого есть прямой угол, является прямоугольником. Таким образом, $CNLM$ — прямоугольник.

2. Теперь докажем, что прямоугольник $CNLM$ является квадратом. Для этого достаточно показать, что две его смежные стороны равны.Рассмотрим треугольник $\triangle NLC$. Так как $LN \parallel BC$ и $AC \perp BC$, то $LN \perp AC$. Это означает, что угол $\angle LNC = 90^\circ$, и треугольник $\triangle NLC$ является прямоугольным.Угол $\angle NCL$ равен $45^\circ$, так как $CL$ — биссектриса угла $C$.Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$, поэтому для $\triangle NLC$ имеем:$\angle NLC = 180^\circ - \angle LNC - \angle NCL = 180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$.

Поскольку в треугольнике $\triangle NLC$ два угла равны ($\angle NCL = \angle NLC = 45^\circ$), он является равнобедренным. Стороны, лежащие напротив равных углов, равны: $NC = LN$.Так как $CNLM$ — прямоугольник, его противолежащие стороны равны, в частности $LN = MC$.Из равенств $NC = LN$ и $LN = MC$ следует, что $NC = MC$.

Мы доказали, что $CNLM$ — это прямоугольник, у которого смежные стороны ($NC$ и $MC$) равны. Такой прямоугольник по определению является квадратом. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что образовавшийся четырёхугольник является квадратом.

Условие 2015-2022.

172. В прямоугольном треугольнике через точку пересечения биссектрисы прямого угла и гипотенузы проведены прямые, параллельные катетам. Докажите, что образовавшийся четырёхугольник является квадратом.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).