Номер 170, страница 37 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 6. Квадрат. Глава 1. Четырёхугольники - номер 170, страница 37.

Условие 2023.

170. Верно ли утверждение:

1) любой квадрат является параллелограммом;

2) любой ромб является квадратом;

3) любой прямоугольник является квадратом;

4) любой квадрат является прямоугольником;

5) любой квадрат является ромбом;

6) если диагонали четырёхугольника равны, то он является прямоугольником;

7) если диагонали четырёхугольника перпендикулярны, то он является ромбом;

8) существует ромб, который является прямоугольником;

9) существует квадрат, который не является ромбом;

10) если диагонали четырёхугольника не перпендикулярны, то он не является ромбом;

11) если диагонали параллелограмма не равны, то он не является прямоугольником;

12) если диагональ прямоугольника делит его угол пополам, то этот прямоугольник является квадратом?

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

1) любой квадрат является параллелограммом

По определению, параллелограмм — это четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. У квадрата все углы прямые ($90^\circ$), следовательно, его противоположные стороны параллельны. Также у квадрата противоположные стороны равны. Таким образом, квадрат удовлетворяет всем свойствам параллелограмма.

Ответ: да, утверждение верно.

2) любой ромб является квадратом

Ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны. Квадрат — это ромб, у которого все углы прямые. Ромб может иметь углы, отличные от $90^\circ$ (например, $60^\circ$ и $120^\circ$), и в этом случае он не будет являться квадратом. Таким образом, только частный случай ромба (с прямыми углами) является квадратом.

Ответ: нет, утверждение неверно.

3) любой прямоугольник является квадратом

Прямоугольник — это параллелограмм, у которого все углы прямые. Квадрат — это прямоугольник, у которого все стороны равны. Прямоугольник может иметь смежные стороны разной длины (например, 5 см и 10 см), и в этом случае он не будет являться квадратом. Таким образом, только частный случай прямоугольника (с равными сторонами) является квадратом.

Ответ: нет, утверждение неверно.

4) любой квадрат является прямоугольником

По определению, прямоугольник — это параллелограмм, у которого все углы прямые. Квадрат имеет четыре прямых угла и является параллелограммом (так как его противоположные стороны параллельны и равны). Следовательно, квадрат удовлетворяет определению прямоугольника.

Ответ: да, утверждение верно.

5) любой квадрат является ромбом

По определению, ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны. Квадрат имеет четыре равные стороны и является параллелограммом. Следовательно, квадрат удовлетворяет определению ромба.

Ответ: да, утверждение верно.

6) если диагонали четырёхугольника равны, то он является прямоугольником

Это утверждение неверно. Контрпримером является равнобокая (равнобедренная) трапеция. У равнобокой трапеции диагонали равны, но она не является прямоугольником, так как её углы не обязательно прямые. Утверждение было бы верным, если бы речь шла о параллелограмме.

Ответ: нет, утверждение неверно.

7) если диагонали четырёхугольника перпендикулярны, то он является ромбом

Это утверждение неверно. Контрпримером является дельтоид (или "воздушный змей"). У дельтоида диагонали перпендикулярны, но его стороны попарно равны, а не все четыре, поэтому он не всегда является ромбом. Утверждение было бы верным, если бы речь шла о параллелограмме.

Ответ: нет, утверждение неверно.

8) существует ромб, который является прямоугольником

Да, такой ромб существует. Если ромб (четырёхугольник с равными сторонами) является прямоугольником (четырёхугольником с прямыми углами), то он обладает свойствами обеих фигур. Четырёхугольник с равными сторонами и прямыми углами — это квадрат. Квадрат является одновременно и ромбом, и прямоугольником.

Ответ: да, утверждение верно.

9) существует квадрат, который не является ромбом

Это утверждение неверно. По определению, у квадрата все стороны равны, а у ромба все стороны равны. Так как квадрат является параллелограммом, он полностью подпадает под определение ромба. Любой квадрат — это ромб (с прямыми углами).

Ответ: нет, утверждение неверно.

10) если диагонали четырёхугольника не перпендикулярны, то он не является ромбом

Это утверждение верно. Оно является следствием из свойства ромба: у любого ромба диагонали перпендикулярны. Следовательно, если у четырёхугольника диагонали не перпендикулярны, он не может быть ромбом.

Ответ: да, утверждение верно.

11) если диагонали параллелограмма не равны, то он не является прямоугольником

Это утверждение верно. Оно является следствием из свойства прямоугольника: у любого прямоугольника диагонали равны. Следовательно, если у параллелограмма диагонали не равны, он не может быть прямоугольником.

Ответ: да, утверждение верно.

12) если диагональ прямоугольника делит его угол пополам, то этот прямоугольник является квадратом?

Да. Пусть в прямоугольнике $ABCD$ диагональ $AC$ делит угол $\angle A$ пополам. Поскольку все углы прямоугольника равны $90^\circ$, то $\angle BAC = 90^\circ / 2 = 45^\circ$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ABC$ (с прямым углом $\angle B$). Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому $\angle BCA = 180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$. Так как в треугольнике $\triangle ABC$ углы при основании $AC$ равны ($\angle BAC = \angle BCA$), то этот треугольник является равнобедренным, и стороны $AB$ и $BC$ равны. Прямоугольник, у которого смежные стороны равны, является квадратом.

Ответ: да, этот прямоугольник является квадратом.

Условие 2015-2022.

170. Верно ли утверждение:

1) любой квадрат является параллелограммом;

2) любой ромб является квадратом;

3) любой прямоугольник является квадратом;

4) любой квадрат является прямоугольником;

5) любой квадрат является ромбом;

6) если диагонали четырёхугольника равны, то он является прямоугольником;

7) если диагонали четырёхугольника перпендикулярны, то он является ромбом;

8) существует ромб, который является прямоугольником;

9) существует квадрат, который не является ромбом;

10) если диагонали четырёхугольника не перпендикулярны, то он не является ромбом;

11) если диагонали параллелограмма не равны, то он не является прямоугольником;

12) если диагональ прямоугольника делит его угол пополам, то этот прямоугольник является квадратом?

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).