Номер 167, страница 37 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 6. Квадрат. Глава 1. Четырёхугольники - номер 167, страница 37.

Условие 2023.

167. Диагональ $BD$ квадрата $ABCD$ равна 5 см. Какова длина диагонали $AC$? Чему равны углы треугольника $AOB$, где точка $O$ — точка пересечения диагоналей квадрата?

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Какова длина диагонали AC?

Квадрат является частным случаем прямоугольника, а у прямоугольника диагонали равны. Следовательно, в квадрате $ABCD$ диагонали $AC$ и $BD$ также равны между собой.

По условию задачи дано, что длина диагонали $BD$ равна 5 см.

Таким образом, $AC = BD = 5$ см.

Ответ: 5 см.

Чему равны углы треугольника AOB, где точка O — точка пересечения диагоналей квадрата?

Рассмотрим треугольник $AOB$. Для нахождения его углов воспользуемся свойствами диагоналей квадрата:

1. Диагонали квадрата взаимно перпендикулярны. Это означает, что они пересекаются под прямым углом. Следовательно, угол при их пересечении в точке $O$ равен $90°$. Отсюда $\angle AOB = 90°$.
2. Диагонали квадрата являются биссектрисами его углов. Углы квадрата равны $90°$. Значит, диагональ $AC$ делит угол $\angle DAB$ на два равных угла, а диагональ $BD$ делит угол $\angle ABC$ на два равных угла.

Найдем остальные углы треугольника $AOB$:

• Угол $\angle OAB$ является половиной угла $\angle DAB$. Таким образом, $\angle OAB = \frac{\angle DAB}{2} = \frac{90°}{2} = 45°$.
• Угол $\angle OBA$ является половиной угла $\angle ABC$. Таким образом, $\angle OBA = \frac{\angle ABC}{2} = \frac{90°}{2} = 45°$.

Проверим: сумма углов в треугольнике $AOB$ должна быть равна $180°$.

$\angle AOB + \angle OAB + \angle OBA = 90° + 45° + 45° = 180°$.

Расчеты верны. Также из того, что $\angle OAB = \angle OBA = 45°$, следует, что треугольник $AOB$ является равнобедренным прямоугольным треугольником.

Ответ: углы треугольника $AOB$ равны $90°$, $45°$ и $45°$.

Условие 2015-2022.

167. Диагональ $BD$ квадрата $ABCD$ равна 5 см. Какова длина диагонали $AC$? Чему равны углы треугольника $AOB$, где точка $O$ — точка пересечения диагоналей квадрата?

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).