Номер 164, страница 36 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 5. Ромб. Глава 1. Четырёхугольники - номер 164, страница 36.

Условие 2023.

164. На бумаге в клетку выбрали произвольно 100 клеток. Докажите, что среди них можно найти не менее 25 клеток, не имеющих общих точек.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Для доказательства данного утверждения воспользуемся методом раскраски и обобщенным принципом Дирихле.

Будем считать, что две клетки имеют общие точки, если они соприкасаются стороной или хотя бы одной вершиной. Это означает, что для любой клетки все 8 окружающих её клеток (образующие вместе с ней квадрат 3x3) имеют с ней общие точки.

Раскрасим все клетки на бесконечной плоскости в четыре цвета. Пронумеруем столбцы и строки сетки целыми числами. Цвет каждой клетки с координатами $(i, j)$, где $i$ — номер столбца, а $j$ — номер строки, определим на основе четности ее координат:

Цвет 1: $i$ — четное, $j$ — четное.
Цвет 2: $i$ — четное, $j$ — нечетное.
Цвет 3: $i$ — нечетное, $j$ — четное.
Цвет 4: $i$ — нечетное, $j$ — нечетное.

При такой раскраске любые две различные клетки одного цвета не могут иметь общих точек. Докажем это. Пусть две различные клетки с координатами $(i_1, j_1)$ и $(i_2, j_2)$ окрашены в один и тот же цвет. По правилу раскраски, это означает, что числа $i_1$ и $i_2$ имеют одинаковую четность, и числа $j_1$ и $j_2$ также имеют одинаковую четность. Математически это эквивалентно условиям $i_1 \equiv i_2 \pmod{2}$ и $j_1 \equiv j_2 \pmod{2}$.

Из этих сравнений следует, что разности координат $(i_1 - i_2)$ и $(j_1 - j_2)$ являются четными числами. Поскольку клетки различны, то хотя бы одна из этих разностей не равна нулю. Если $i_1 \neq i_2$, то $|i_1 - i_2|$ является ненулевым четным числом, а значит, $|i_1 - i_2| \ge 2$. Аналогично, если $j_1 \neq j_2$, то $|j_1 - j_2| \ge 2$.

Однако, чтобы две клетки имели общую точку, необходимо одновременное выполнение условий $|i_1 - i_2| \le 1$ и $|j_1 - j_2| \le 1$. Как мы показали, для двух различных клеток одного цвета по крайней мере одно из этих условий нарушается. Следовательно, любые две клетки одного цвета не имеют общих точек.

Теперь рассмотрим 100 произвольно выбранных клеток. Эти 100 клеток ("голуби") распределяются по 4 цветовым группам ("ящикам"). Согласно обобщенному принципу Дирихле, если $N$ объектов раскладывать по $k$ ящикам, то найдется ящик, в котором будет не менее $\lceil N/k \rceil$ объектов. В нашей задаче $N=100$ (клетки) и $k=4$ (цвета).

Следовательно, найдется цвет, в который окрашено не менее $\lceil \frac{100}{4} \rceil = 25$ клеток из ста выбранных. Эта группа из 25 (или более) клеток и является искомой, так как все они одного цвета, а значит, никакие две из них не имеют общих точек. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. При раскраске плоскости в 4 цвета по принципу четности координат, по принципу Дирихле среди 100 произвольных клеток всегда найдется не менее 25 клеток одного цвета. Так как в данной раскраске клетки одного цвета не имеют общих точек, это и есть искомое множество.

Условие 2015-2022.

164. На бумаге в клетку выбрали произвольно 100 клеток. Докажите, что среди них можно найти не менее 25 клеток, не имеющих общих точек.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).