Номер 158, страница 35 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 5. Ромб. Глава 1. Четырёхугольники - номер 158, страница 35.

Условие 2023.

158. Постройте ромб по диагонали и углу ромба, вершина которого принадлежит этой диагонали.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Для решения задачи о построении ромба по диагонали и углу, вершина которого принадлежит этой диагонали, выполним последовательно анализ, построение, доказательство и исследование.

Анализ

Пусть искомый ромб — $ABCD$. Обозначим заданную диагональ как $AC$, её длину как $d$, а заданный угол при вершине $A$ как $\angle{BAD} = \alpha$.

Основные свойства ромба, которые мы будем использовать:

• Все стороны ромба равны ($AB = BC = CD = DA$).
• Диагонали ромба являются биссектрисами его углов.

Поскольку диагональ $AC$ является биссектрисой угла $\angle{BAD}$, она делит его на два равных угла: $\angle{BAC} = \angle{DAC} = \frac{\alpha}{2}$.

Рассмотрим треугольник $ABC$. Так как стороны ромба $AB$ и $BC$ равны, то треугольник $ABC$ является равнобедренным с основанием $AC$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, следовательно, $\angle{BCA} = \angle{BAC} = \frac{\alpha}{2}$.

Аналогично, треугольник $ADC$ также является равнобедренным ($AD = DC$), поэтому $\angle{DCA} = \angle{DAC} = \frac{\alpha}{2}$.

Таким образом, задача сводится к построению двух равных равнобедренных треугольников ($ABC$ и $ADC$) на общем основании $AC$. Вершины $B$ и $D$ могут быть найдены построением углов, равных $\frac{\alpha}{2}$, при вершинах $A$ и $C$ отрезка $AC$.

Построение

Пусть нам даны отрезок длиной $d$ и угол $\alpha$.

1. Построим прямую и отложим на ней отрезок $AC$, равный $d$.
2. Построим угол, равный данному углу $\alpha$. С помощью циркуля и линейки построим его биссектрису, получив угол размером $\frac{\alpha}{2}$.
3. От луча $AC$ в верхнюю полуплоскость отложим угол $\angle{CAB}$, равный $\frac{\alpha}{2}$. Для этого построим луч $l$ из точки $A$.
4. От луча $CA$ в ту же, верхнюю, полуплоскость отложим угол $\angle{ACB}$, равный $\frac{\alpha}{2}$. Для этого построим луч $m$ из точки $C$.
5. Точка пересечения лучей $l$ и $m$ будет вершиной ромба — точкой $B$.
6. Аналогично, в нижней полуплоскости относительно прямой $AC$ построим точку $D$. От луча $AC$ отложим угол $\angle{CAD}$, равный $\frac{\alpha}{2}$ (построив луч $p$), и от луча $CA$ отложим угол $\angle{ACD}$, равный $\frac{\alpha}{2}$ (построив луч $q$).
7. Точка пересечения лучей $p$ и $q$ будет четвертой вершиной ромба — точкой $D$.
8. Соединим последовательно точки $A, B, C$ и $D$. Четырехугольник $ABCD$ — искомый ромб.

Доказательство

Рассмотрим построенный четырехугольник $ABCD$.

В треугольнике $ABC$ по построению $\angle{BAC} = \angle{BCA} = \frac{\alpha}{2}$. Следовательно, $\triangle ABC$ — равнобедренный, и $AB = BC$.

В треугольнике $ADC$ по построению $\angle{DAC} = \angle{DCA} = \frac{\alpha}{2}$. Следовательно, $\triangle ADC$ — равнобедренный, и $AD = DC$.

Сравним треугольники $ABC$ и $ADC$. У них общая сторона $AC$. Прилежащие к ней углы соответственно равны: $\angle{BAC} = \angle{DAC} = \frac{\alpha}{2}$ и $\angle{BCA} = \angle{DCA} = \frac{\alpha}{2}$. По второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам), $\triangle ABC \cong \triangle ADC$.

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: $AB = AD$ и $BC = DC$.

Объединяя все полученные равенства, имеем: $AB = BC = CD = DA$. Так как все четыре стороны четырехугольника равны, $ABCD$ является ромбом.

Угол ромба при вершине $A$ равен сумме углов: $\angle{BAD} = \angle{BAC} + \angle{DAC} = \frac{\alpha}{2} + \frac{\alpha}{2} = \alpha$. Диагональ $AC$ по построению равна $d$.

Следовательно, построенный четырехугольник $ABCD$ удовлетворяет всем условиям задачи.

Исследование

Построение возможно, если лучи, строящиеся из точек $A$ и $C$ в одну полуплоскость, пересекаются. Это произойдет тогда, когда сумма углов, которые они образуют с отрезком $AC$, будет меньше $180^\circ$.

В нашем случае, для $\triangle ABC$ сумма углов при основании $AC$ равна $\angle{BAC} + \angle{BCA} = \frac{\alpha}{2} + \frac{\alpha}{2} = \alpha$.

Условие пересечения лучей: $\alpha < 180^\circ$. Также, для существования невырожденного ромба, его угол должен быть больше $0^\circ$.

Таким образом, задача имеет единственное решение при выполнении условий $d > 0$ и $0^\circ < \alpha < 180^\circ$.

Ответ: Алгоритм построения ромба, его доказательство и исследование приведены выше. Построение основано на свойстве диагонали ромба быть биссектрисой его углов, что позволяет свести задачу к построению двух равных равнобедренных треугольников на данной диагонали как на общем основании.

Условие 2015-2022.

158. Постройте ромб по диагонали и углу ромба, вершина которого принадлежит этой диагонали.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).