Номер 155, страница 35 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 5. Ромб. Глава 1. Четырёхугольники - номер 155, страница 35.

Условие 2023.

155. Биссектрисы углов $A$ и $B$ параллелограмма $ABCD$ пересекают его стороны $BC$ и $AD$ в точках $F$ и $E$ соответственно. Определите вид четырёхугольника $ABFE$.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть дан параллелограмм $ABCD$. Биссектриса угла $A$, обозначим её $AF$, пересекает сторону $BC$ в точке $F$. Биссектриса угла $B$, обозначим её $BE$, пересекает сторону $AD$ в точке $E$. Рассмотрим полученный четырёхугольник $ABFE$.

1. В параллелограмме $ABCD$ противоположные стороны по определению параллельны, то есть $AD \parallel BC$. Поскольку точка $E$ лежит на стороне $AD$, а точка $F$ — на стороне $BC$, то отрезки $AE$ и $BF$, являющиеся их частями, также лежат на параллельных прямых. Следовательно, $AE \parallel BF$.

2. Рассмотрим треугольник $ABF$. По условию, $AF$ является биссектрисой угла $\angle DAB$, поэтому $\angle BAF = \frac{1}{2}\angle DAB$. Поскольку $AD \parallel BC$, прямая $AF$ является секущей для этих параллельных прямых. Углы $\angle DAF$ и $\angle AFB$ являются внутренними накрест лежащими, следовательно, они равны: $\angle DAF = \angle AFB$. Так как $AF$ — биссектриса, то $\angle BAF = \angle DAF$. Из этих равенств следует, что $\angle BAF = \angle AFB$. Таким образом, треугольник $ABF$ является равнобедренным с основанием $AF$, а значит, его боковые стороны равны: $AB = BF$.

3. Рассмотрим треугольник $ABE$. По условию, $BE$ является биссектрисой угла $\angle ABC$, поэтому $\angle ABE = \frac{1}{2}\angle ABC$. Поскольку $AD \parallel BC$, прямая $BE$ является секущей. Углы $\angle AEB$ и $\angle CBE$ являются внутренними накрест лежащими, следовательно, они равны: $\angle AEB = \angle CBE$. Так как $BE$ — биссектриса угла $B$, то $\angle ABE = \angle CBE$. Из этих равенств следует, что $\angle ABE = \angle AEB$. Таким образом, треугольник $ABE$ является равнобедренным с основанием $BE$, а значит, его боковые стороны равны: $AB = AE$.

4. Из предыдущих пунктов мы установили, что в четырёхугольнике $ABFE$ стороны $AE$ и $BF$ параллельны ($AE \parallel BF$). Также мы доказали, что длины этих сторон равны, так как $AE = AB$ и $BF = AB$, из чего следует, что $AE = BF$. Четырёхугольник, у которого одна пара противоположных сторон параллельна и равна, является параллелограммом. Значит, $ABFE$ — параллелограмм.

Более того, мы знаем, что смежные стороны этого параллелограмма, $AB$ и $AE$, равны ($AB = AE$). Параллелограмм, у которого смежные стороны равны, является ромбом.

Ответ: четырёхугольник $ABFE$ — ромб.

Условие 2015-2022.

155. Постройте ромб:

1) по стороне и углу;

2) по двум диагоналям;

3) по высоте и углу.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).