Номер 156, страница 35 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 5. Ромб. Глава 1. Четырёхугольники - номер 156, страница 35.

Условие 2023.

156. В треугольнике $ABC$ проведён серединный перпендикуляр его биссектрисы $BD$, который пересекает стороны $AB$ и $BC$ в точках $K$ и $P$ соответственно. Определите вид четырёхугольника $BKDP$.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Рассмотрим четырехугольник $BKDP$. Его диагоналями являются отрезки $BD$ и $KP$.

По условию, прямая $KP$ является серединным перпендикуляром к отрезку $BD$. По определению серединного перпендикуляра, любая его точка равноудалена от концов отрезка.

Поскольку точка $K$ лежит на серединном перпендикуляре к $BD$, то $KB = KD$. Следовательно, треугольник $\triangle KBD$ является равнобедренным. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, поэтому $\angle KBD = \angle KDB$.

Аналогично, поскольку точка $P$ лежит на серединном перпендикуляре к $BD$, то $PB = PD$. Следовательно, треугольник $\triangle PBD$ также является равнобедренным, и углы при его основании равны: $\angle PBD = \angle PDB$.

По условию задачи, $BD$ — биссектриса угла $\angle ABC$. Это означает, что $BD$ делит угол $\angle B$ пополам: $\angle ABD = \angle CBD$. Так как точки $K$ и $P$ лежат на сторонах $AB$ и $BC$ соответственно, то $\angle KBD = \angle PBD$.

Из полученных равенств углов ($\angle KBD = \angle KDB$, $\angle PBD = \angle PDB$ и $\angle KBD = \angle PBD$) следует, что все четыре угла равны между собой: $\angle KBD = \angle PBD = \angle KDB = \angle PDB$.

Теперь сравним треугольники $\triangle KBD$ и $\triangle PBD$. У них общая сторона $BD$, а углы, прилежащие к этой стороне, соответственно равны: $\angle KBD = \angle PBD$ и $\angle KDB = \angle PDB$. По второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам), $\triangle KBD \cong \triangle PBD$.

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон: $KB = PB$ и $KD = PD$.

Сопоставляя все полученные равенства сторон ($KB = KD$, $PB = PD$, $KB = PB$, $KD = PD$), приходим к выводу, что все четыре стороны четырехугольника $BKDP$ равны:

$KB = PB = PD = KD$

Четырехугольник, у которого все стороны равны, является ромбом.

Ответ: Четырехугольник $BKDP$ является ромбом.

Условие 2015-2022.

156. Постройте ромб:

1) по стороне и диагонали;

2) по высоте и диагонали.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).