Номер 163, страница 36 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 5. Ромб. Глава 1. Четырёхугольники - номер 163, страница 36.

Условие 2023.

163. На продолжении стороны $AC$ треугольника $ABC$ за точку $A$ отметили точку $D$ так, что $AD = AB$, а на продолжении этой стороны за точку $C$ – точку $E$ так, что $CE = BC$. Найдите углы и периметр треугольника $ABC$, если $DE = 18$ см, $\angle BDA = 15^\circ$, $\angle BEC = 36^\circ$.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Углы

1. Рассмотрим $\triangle ABD$. По условию $AD = AB$, следовательно, $\triangle ABD$ — равнобедренный с основанием $BD$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны: $\angle ABD = \angle BDA = 15^\circ$. Сумма углов в треугольнике $ABD$ равна $180^\circ$, поэтому угол при вершине $\angle DAB$ равен:

$\angle DAB = 180^\circ - (\angle ABD + \angle BDA) = 180^\circ - (15^\circ + 15^\circ) = 150^\circ$.

2. Углы $\angle DAB$ и $\angle BAC$ являются смежными, так как точки $D, A, C$ лежат на одной прямой. Их сумма равна $180^\circ$. Отсюда находим $\angle BAC$:

$\angle BAC = 180^\circ - \angle DAB = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$.

3. Рассмотрим $\triangle BCE$. По условию $CE = BC$, следовательно, $\triangle BCE$ — равнобедренный с основанием $BE$. Углы при основании этого треугольника равны: $\angle CBE = \angle BEC = 36^\circ$. Угол при вершине $\angle BCE$ равен:

$\angle BCE = 180^\circ - (\angle CBE + \angle BEC) = 180^\circ - (36^\circ + 36^\circ) = 108^\circ$.

4. Углы $\angle BCA$ и $\angle BCE$ являются смежными. Их сумма равна $180^\circ$. Отсюда находим $\angle BCA$:

$\angle BCA = 180^\circ - \angle BCE = 180^\circ - 108^\circ = 72^\circ$.

5. Теперь в $\triangle ABC$ известны два угла: $\angle BAC = 30^\circ$ и $\angle BCA = 72^\circ$. Третий угол $\angle ABC$ находим из условия, что сумма углов треугольника равна $180^\circ$:

$\angle ABC = 180^\circ - (\angle BAC + \angle BCA) = 180^\circ - (30^\circ + 72^\circ) = 180^\circ - 102^\circ = 78^\circ$.

Ответ: Углы треугольника $ABC$ равны $\angle BAC = 30^\circ$, $\angle ABC = 78^\circ$, $\angle BCA = 72^\circ$.

Периметр

Периметр треугольника $ABC$ ($P_{ABC}$) — это сумма длин всех его сторон: $P_{ABC} = AB + BC + AC$.

Точки $D, A, C, E$ лежат на одной прямой, поэтому длина отрезка $DE$ равна сумме длин составляющих его отрезков: $DE = DA + AC + CE$.

Из условия задачи мы знаем, что $AD = AB$ и $CE = BC$. Выполним замену в выражении для длины $DE$:

$DE = AB + AC + BC$.

Сравнивая полученное выражение с формулой периметра, видим, что $P_{ABC} = DE$.

Поскольку по условию $DE = 18$ см, периметр треугольника $ABC$ также равен 18 см.

Ответ: периметр треугольника $ABC$ равен 18 см.

Условие 2015-2022.

163. На продолжении стороны $AC$ треугольника $ABC$ за точку $A$ отметили точку $D$ так, что $AD = AB$, а на продолжении этой стороны за точку $C$ – точку $E$ так, что $CE = BC$. Найдите углы и периметр треугольника $ABC$, если $DE = 18$ см, $\angle BDA = 15^\circ$, $\angle BEC = 36^\circ$.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).